Графика
Курсовые
Алгебра
Физика
Типовой
Инженерная
Математика
Лекции

Бетатрон

ТОЭ
Задачи
Решения

Реактор

Архитектура
Контрольная
Чертежи

Схема исследования функций Определение

  Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1)      Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2)      Точки разрыва. (Если они имеются).

3)      Интервалы возрастания и убывания.

4)      Точки максимума и минимума.

5)      Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6)      Области выпуклости и вогнутости.

7)      Точки перегиба.(Если они имеются).

8)      Асимптоты.(Если они имеются).

9)      Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

  [an error occurred while processing this directive]

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

 

Критические точки: x = 0; x = -; x = x = -1; x = 1.

 

Найдем вторую производную функции

.

[an error occurred while processing this directive]  

  Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

 

-¥ < x < -y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

  0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

  1 < x < y¢¢ > 0, кривая вогнутая

   < x < ¥y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

 

-¥ < x < -y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

  0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

  1 < x < y¢ < 0, функция убывает

   < x < ¥y¢¢ > 0, функция возрастает

  Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

  Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

  Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

 


Математика

Живопись
Лекции
Радиобиология
Базы данных