Графика
Курсовые
Алгебра
Физика
Типовой
Инженерная
Математика
Лекции

Бетатрон

ТОЭ
Задачи
Решения

Реактор

Архитектура
Контрольная
Чертежи

Математика Нахождение производной функции

Разложение вектора по базису

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора.

Задача. Даны векторы $ {\overrightarrow {OA}={\bf a}}$ , $ {\overrightarrow {OB}={\bf b}}$ . Вектор $ {\overrightarrow {OC}={\bf c}}$ -- медиана треугольника $ OAB$ . Найдите координаты вектора a в базисе b, c.

Решение. Сначала рассмотрим геометрическое решение (рис. 10.13).

Рис.10.13.Геометрическое разложение вектора

Проведем через конец вектора a прямую параллельно вектору b до пересечения с продолжением вектора c. Получим точку пересечения $ D$ . Легко видеть, что $ {\overrightarrow {OD}=2{\bf c}}$ , $ {\overrightarrow {AD}={\bf b}}$ . Проведем через точку $ A$ прямую параллельно вектору c до пересечения с продолжением вектора b. Получим точку $ F$ . Очевидно, что $ {\vert OF\vert=\vert AD\vert}$ , то есть $ {\overrightarrow {OF}=-{\bf b}}$ . Таким образом, $ {\bf a}=\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {OF}=2{\bf c}+(-{\bf b})=(-1){\bf b}+2{\bf c}$ . Получим $ {{\bf a}=(-1;2)}$ .

Аналитическое решение. Получим какое-нибудь уравнение, связывающее векторы a, b, c. Для этого достроим треугольник $ OAB$ до параллелограмма (рис. 10.14).

Рис.10.14.

Тогда $ \overrightarrow {OD}=2{\bf c}$ , $ \overrightarrow {OD}={\bf a}+{\bf b}$ . Получим равенство $ {2{\bf c}={\bf a}+{\bf b}}$ . Откуда $ {{\bf a}=-{\bf b}+2{\bf c}}$ , то есть $ {{\bf a}=(-1;2)}$ .
Ответ:$ {\bf a}=(-1;2)$

Для заданной функции $ f$ на отрезке $ [a;b]$ назовём определённым интегралом от $ f$ по $ [a;b]$ число, равное пределу интегральной суммы, рассматриваемой как функция размеченного разбиения $ \Xi$ , по базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ . Определённый интеграл обозначается $ \int_a^bf(x)\;dx$ или $ \int_{[a;b]}f(x)\;dx$ . Итак,
$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)(x_i-x_{i-1}).$

Если функция $ f$ такова, что определённый интеграл от неё по отрезку $ [a;b]$ существует (то есть если интегральная сумма имеет предел при базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ ), то функция $ f$ называется интегрируемой на отрезке $ [a;b]$ .

По отношению к интегралу $ \int_a^bf(x)\;dx$ число $ a$ называется нижним пределом, число $ b$  -- верхним пределом, а функция $ f(x)$  -- подынтегральной функцией.     

Если вспомнить общее определение предела и записать его применительно к нашему случаю, то получим, что число $ I$ равно определённому интегралу от $ f$ по отрезку $ [a;b]$ , если для любого, сколь угодно малого числа $ {\varepsilon}>0$ мы можем выбрать такое число $ {\delta}>0$ , задающее мелкость разбиения, что для любого размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$ с диаметром, меньшим $ {\delta}$ , значение интегральной суммы будет отличаться от числа $ I$ не больше чем на $ {\varepsilon}$ :

$\displaystyle \Bigl\vert\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)(x_i-x_{i-1})-I\Bigr\vert\leqslant {\varepsilon},$    если $\displaystyle \max_i(x_i-x_{i-1})<{\delta}.$

Заодно, кроме общего определения определённого интеграла, мы получили определение площади $ S$ криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции $ y=f(x)$ , как такого же предела интегральных сумм:

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx,$

если функция $ f$ непрерывна на $ [a;b]$ и $ f(x)>0$ при всех $ x\in[a;b]$ .

Сделаем ещё такое важное замечание: в обозначении $ I=\int_a^bf(x)\;dx$ совершенно неважно, какой именно буквой обозначена переменная интегрирования (в данном случае $ x$ ): если фиксированы подынтегральная функция $ f$ и пределы интегрирования $ a$ и $ b$ , то интегралы $ \int_a^bf(t)\;dt$ , $ \int_a^bf(z)\;dz$ , $ \int_a^bf({\alpha})\;d{\alpha}$ и т. п. означают одно и то же число $ I$ , к которому стремятся интегральные суммы, построенные для функции $ f$ на отрезке $ [a;b]$ при измельчении размеченного разбиения. (Точно так же сумма $ S=\sum\limits_{i=1}^na_i$ величин $ a_1,a_2,\dots,a_n$ не зависит от того, какой буквой обозначать индекс суммирования: то же значение $ S$ будут иметь суммы, обозначенные как $ \sum\limits_{j=1}^na_j$ , $ \sum\limits_{t=1}^na_t$ , $ \sum\limits_{{\alpha}=1}^na_{{\alpha}}$ и т. п.)

Рассматривая на каждом из отрезков разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ значения $ \ul y_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ и $ \ov y_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ (в случае непрерывной функции $ f(x)$ они совпадают с $ \ul y_i=\min\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ и $ \ov y_i=\max\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ , которые мы рассматривали выше), мы можем дать для разбиения $ X$ определение нижней интегральной суммы:

$\displaystyle \ul S(X)=\sum_{i=1}^n\ul y_ih_i$

и верхней интегральной суммы:

$\displaystyle \ov S(X)=\sum_{i=1}^n\ov y_ih_i.$

Функции

пример

Первый способ задания функции: табличный

задача

задача

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Пусть  -- числовая плоскость и функция  задана формулой

Пусть  -- функция, заданная во всех точках плоскости

Пусть   -- функция, заданная во всех точках плоскости

Скалярное произведение векторов

Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах  и  , где m и n -- единичные векторы, угол между которыми равен  .

Даны вершины треугольника:  ,  ,

Смешанное произведение векторов

Является ли система векторов  ,  ,  линейно зависимой?

Является ли система векторов  ,  ,  линейно зависимой?

Композиция функций

Пусть  ,  , и  ,

Математика

Живопись
Лекции
Радиобиология
Базы данных