Графика
Курсовые
Алгебра
Физика
Типовой
Инженерная
Математика
Лекции

Бетатрон

ТОЭ
Задачи
Решения

Реактор

Архитектура
Контрольная
Чертежи

Математика вычисление пределов примеры

Замена переменного

Пример Пусть производится замена $ t=x^2$ и $ x\to0$. Рассуждая, как в предыдущем примере, получаем, что, наверное, $ t$ тоже стремится к 0, то есть нужно рассматривать базу $ t\to0$. Это, однако, не вполне верно. Следующий чертёж показывает, что образами окончаний $ E_{{\delta}}=(-{\delta}{\delta})\diagdown \{0\}$ базы $ x\to0$ служат не проколотые окрестности точки $ t=0$ (являющиеся окончаниями базы $ t\to0$), а интервалы $ E'=(0,{\delta}')$, где $ {\delta}'={\delta}^2$, примыкающие на оси $ t$ (если её расположить горизонтально) справа к точке $ t=0$.
Рис.2.14.График $ t=x^2$ и преобразование базы $ x\to0$ в базу $ t\to0+$


Набор таких интервалов образует правостороннюю базу $ t\to0+$, а не двустороннюю базу $ t\to0$, как мы поторопились предположить. В некоторых примерах разница между этими базами может быть существенной при вычислении предела.

(Ниже мы рассмотрим предел $ \lim\limits_{x\to0}x^2e^{-\frac{1}{x^2}}$,

 

        Пример   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt.$

Для этого сделаем замену $ x={\varphi}(t)=\sin t$ , откуда $ dx={\varphi}'(t)dt=\cos t\;dt$ . Кроме того, при $ t=0$ имеем $ x=\sin0=0$ , а при $ t=\frac{\pi}{2}$ имеем $ x=\sin\frac{\pi}{2}=1$ . Получаем: $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt=
\left\vert\begin{array}...
...end{array}\right\vert=
\int_0^1x^2dx=\frac{x^3}{3}\Bigr\vert _0^1=\frac{1}{3}.$

Пусть производится замена  , где

Пусть производится замена  при базе

 

Математика

Живопись
Лекции
Радиобиология
Базы данных