Графика
Курсовые
Алгебра
Физика
Типовой
Инженерная
Математика
Лекции

Бетатрон

ТОЭ
Задачи
Решения

Реактор

Архитектура
Контрольная
Чертежи

Математика вычисление пределов примеры

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Пример Рассмотрим функцию $ f(x)=2x-1$. При базе $ x\to\frac{1}{2}$ эта функция является бесконечно малой, а при базе $ x\to0$-- не является.
Рис.2.16.График функции $ y=2x-1$


Проверим это. Покажем, что $ {\lim\limits_{x\to\frac{1}{2}}(2x-1)=0}$. Возьмём произвольное $ {{\varepsilon}>0}$ и решим неравенство $ {\vert(2x-1)-0\vert<{\varepsilon}}$. Оно эквивалентно неравенству $ {-{\varepsilon}<2x-1<{\varepsilon}}$. Получаем ; это означает, что при $ {x\in(\frac{1}{2}-{\delta};\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2};\frac{1}{2}+{\delta})}$, где $ {{\delta}=\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$, неравенство $ {\vert(2x-1)-0\vert<{\varepsilon}}$ выполняется, то есть $ {2x-1\xrightarrow {x\to\frac{1}{2}}0}$. Мы показали, что $ {2x-1}$-- бесконечно малая при $ {x\to\frac{1}{2}}$.

Теперь покажем, что $ \lim\limits_{x\to0}(2x-1)=-1$, то есть что эта величина не является бесконечно малой при $ x\to0$. Возьмём $ {\varepsilon}>0$ и найдём окрестность точки 0, в которой выполняется неравенство $ \vert(2x-1)-(-1)\vert<{\varepsilon}$. Это неравенство, очевидно, эквивалентно неравенству $ \vert x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}$, то есть при $ {\delta}=\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ попадание $ x$ в $ {\delta}$-окрестность точки 0 гарантирует выполнение неравенства $ \vert(2x-1)-(-1)\vert<{\varepsilon}$. Это означает, что $ (2x-1)\xrightarrow {x\to0}-1$.

Доказанное свойство говорит о том, что свойство несобственного интеграла быть сходящимся -- это свойство, связанное с поведением функции "на бесконечности": изменение значений функции на любом конечном отрезке $ [a;a_1]$ никак не сказывается на сходимости (или расходимости) интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , а следовательно, и на факте сходимости (или, соответственно, расходимости) интеграла $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ , хотя такое изменение может, конечно, привести к изменению значения этого интеграла.

Функция  -- бесконечно малая при  ,  и при

При базе  рассмотрим две бесконечно малых величины:  и

пример

Математика

Живопись
Лекции
Радиобиология
Базы данных