Графика
Курсовые
Алгебра
Физика
Типовой
Инженерная
Математика
Лекции

Бетатрон

ТОЭ
Задачи
Решения

Реактор

Архитектура
Контрольная
Чертежи

Математика вычисление пределов примеры

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пример Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}.$
Заменим в числителе $ \sin^23x$ на эквивалентную величину $ (3x)^2$, а знаменатель $ {1-\cos x^2}$-- на эквивалентную величину $ \dfrac{(x^2)^2}{2}$. После этого можно будет сократить дробь на $ x^4$ и получить ответ:
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}=
\lim_{x\to0}\dfrac{x^2\cdot(3x)^2}{\dfrac{(x^2)^2}{2}}=
\lim_{x\to0}\dfrac{9x^4}{\dfrac{x^4}{2}}=18.$

Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе $ x\to0$. Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах $ x\to0+$ и $ x\to0-$. Если же рассматриваемый пример содержит неопределённость вида $ \left[\dfrac{0}{0}\right]$ при какой-либо другой базе, то часто предел можно свести к пределу при "стандартной" базе $ x\to0$ (или $ x\to0+$, или $ x\to0-$) с помощью подходящей замены переменной, а затем воспользоваться табличными эквивалентностями.

Вычисление длины плоской линии

Пусть линия $ L$ представляет собой график функции $ y=f(x)$ , рассматриваемый при $ x\in[a;b]$ . Будем предполагать, что функция $ f(x)$ имеет на $ [a;b]$ непрерывную производную. Наша цель -- найти длину линии $ L$ (по сути дела, нам придётся дать определение того, что мы считаем длиной произвольной линии).

Рассмотрим разбиение $ X$ отрезка $ [a;b]$ точками $ x_0=a<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=b$ и отметим соответствующие точки $ M_i(x_i;f(x_i))$ на графике. На каждом отрезке разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ приближённо заменим дугу графика $ y=f(x)$ на хорду $ M_{i-1}M_i$ .

Рис.6.14.



Длина этой хорды по теореме Пифагора равняется
$\displaystyle l_i=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(f(x_i)-f(x_{i-1}))^2}.$

Рис.6.15.



Преобразуем это выражение к виду
$\displaystyle l_i=(x_i-x_{i-1})\sqrt{1+\Bigl(\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}\Bigr)^2}.$

По теореме Лагранжа, на интервале $ (x_{i-1};x_i)$ найдётся такая точка $ \ov x_i$ , что
$\displaystyle \frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}=f'(\ov x_i).$

Поэтому получаем
$\displaystyle l_i=(x_i-x_{i-1})\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}.$

Рассмотрим теперь точки $ \ov x_i$ , $ i=1,\dots,n$ , как отмеченные точки и получим размеченное разбиение $ \Xi$ . Соответствующая этому разбиению суммарная длина ломаной $ M_0M_1\ldots M_{n-1}M_n$ равна
$\displaystyle \wt l_X=\sum_{i=1}^nl_i=
\sum_{i=1}^n
\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}
(x_i-x_{i-1}).$

Будем считать эту длину приближённым значением длины линии $ L$ , а предел этой величины при неограниченном измельчении разбиения -- по определению равным длине $ l$ линии $ L$

Вычислим предел

Прямая в пространстве

Требуется найти какую-нибудь точку на прямой

Математика

Живопись
Лекции
Радиобиология
Базы данных