Графика
Курсовые
Алгебра
Физика
Типовой
Инженерная
Математика
Лекции

Бетатрон

ТОЭ
Задачи
Решения

Реактор

Архитектура
Контрольная
Чертежи

Математика Вычисление определенных интегралов примеры решений

Производная

Пример Пусть $ f(x)=\vert x\vert$ и $ x_0=0$. Вычислим односторонние производные $ f'_+(0)$ и $ f'_-(0)$.
При $ h>0$ имеем $ x_0+h=h>0$ и $ f(x_0+h)=f(h)=\vert h\vert=h$. Значит, разностное отношение равно $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{h-0}{h}=1$ и $ f'_+(0)=\lim\limits_{h\to0}1=1.$
При $ h<0$ имеем $ x_0+h=h<0$ и $ f(x_0+h)=f(h)=\vert h\vert=-h$. Значит, разностное отношение равно $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{-h-0}{h}=-1$ и $ f'_+(0)=\lim\limits_{h\to0}(-1)=-1.$
Графически это означает следующее. Мы строим касательную к графику
$\displaystyle y=\vert x\vert=\left\{\begin{array}{ll}
-x,&\mbox{ при }x<0;\\
x,&\mbox{ при }x\geqslant 0,
\end{array}\right.$
в точке $ M_0=O$, сначала пользуясь секущими $ M_0M_1$ с точкой $ M_1$ правее $ M_0$. Эта касательная, как и все такие секущие, совпадают между собой и имеют уравнение $ {y=x}$, задающее прямую, наклонённую под углом $ \frac{\pi}{4}$ к оси $ Ox$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\pi}{4}=1=f'_+(0)$). Далее, мы строим касательную, пользуясь секущими $ M_0M_2$ с точкой $ M_2$ левее $ M_0$. Все такие секущие и касательная, по ним построенная, совпадают между собой и имеют уравнение $ {y=-x}$, задающее прямую, наклонённую под углом $ -\frac{\pi}{4}$ к оси $ Ox$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits (-\frac{\pi}{4})=-1=f'_-(0)$).
Рис.4.4.График $ y=\vert x\vert$ имеет излом при $ x=0$

Таким образом, неравенство левой и правой производной выражает тот геометрический факт, что линия $ y=\vert x\vert$ имеет при $ x=0$ излом под углом $ \frac{\pi}{2}$ и не имеет общей касательной сразу к двум сторонам этого угла.

 Пример   Пусть $ {\Omega}$  -- область в $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ (x_1;x_2)$ , заданная условием $ x_1\ne0$ . Эта область состоит из двух открытых полупространств $ \{x_1<0\}$ и $ \{x_1>0\}$ (и, тем самым, открыта). Покажем, что область $ {\Omega}$ не связна.

Если взять две точки $ x^0$ и $ x^1$ , такие что $ x^0_1<0$ и $ x^1_1>0$ , то обе они принадлежат $ {\Omega}$ , поскольку их первая координата отлична от 0. Предположим, что некоторый непрерывный путь $ {\gamma}(t)$ соединяет точку $ x^0$ с точкой $ x^1$ и $ {\gamma}(t)=({\gamma}_1(t);{\gamma}_2(t))$ .

Рис.7.6.

Поскольку $ {\gamma}_1(0)=x^0_1<0$ , $ {\gamma}_1(1)=x^1_1>0$ и функция $ {\gamma}_1(t)$ по предположению непрерывна при $ t\in[0;1]$ , то по теореме о корне найдётся такое значение $ t=t^*$ , что $ {\gamma}_1(t^*)=0$ . Но тогда точка $ {\gamma}(t^*)=(0;{\gamma}_2(t^*))$ не принадлежит области $ {\Omega}$ , поскольку её первая координата равна 0. Значит, любой непрерывный путь $ {\gamma}$ , соединяющий $ x^0$ с $ x^1$ , не может целиком лежать в $ {\Omega}$ . Это означает, что область $ {\Omega}$ не является связной.     

Если фиксировать некоторую точку $ x^0$ множества $ {\Omega}$ и рассмотреть все те точки $ x^1\in{\Omega}$ , в которые ведут непрерывные и целиком лежащие в $ {\Omega}$ пути, выходящие из $ x^0$ , то множество таких концевых точек $ x^1$ образует компоненту связности множества $ {\Omega}$ , содержащую точку $ x^0$ . Если эта компонента связности не охватывает всё множество $ {\Omega}$ , то можно рассмотреть какую-то точку $ x^{00}\in{\Omega}$ , не лежащую в этой компоненте, и, начиная с этой точки $ x^{00}$ , построить другую компоненту связности множества $ {\Omega}$ , не пересекающуюся с первой компонентой связности. Продолжая, если нужно, этот процесс далее, мы получаем разбиение множества $ {\Omega}$ на непересекающиеся компоненты связности.

Любое связное множество состоит из одной компоненты связности, а любое несвязное множество -- по меньшей мере из двух компонент связности.

Рассмотрим линейную функцию

Производные некоторых элементарных функций

Найдём производную функции

Производная композиции

Пусть , то есть , где : данная функция представлена в виде композиции функций и .

Найдём производную функции .

Сложение матриц и умножение на число

Пусть , .

Символ суммирования

Математика