Графика
Курсовые
Алгебра
Физика
Типовой
Инженерная
Математика
Лекции

Бетатрон

ТОЭ
Задачи
Решения

Реактор

Архитектура
Контрольная
Чертежи

Математика Вычисление кратных интегралов примеры решений

Производные некоторых элементарных функций

Пример   Найдём производную функции $ {f(x){=}\arcsin x}$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {{\varphi}(y)=\sin y}$ ( $ {-\frac{\pi}{2}\leqslant y\leqslant \frac{\pi}{2}}$), производная которой равна $ {{\varphi}'(y)=\cos y}$. Заметим, что при указанных значениях $ y$ выполнено неравенство $ {\cos y\geqslant 0}$, откуда $ {\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}}$ (корень берём со знаком $ +$). Поэтому по формуле (4.15):     $ f'(x)=\dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}}=
\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$     
 Пример   Аналогично отыщем производную функции $ f(x)=\arccos x$. Обратной к $ f(x)$ служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\cos y$ ( $ 0\leqslant y\leqslant \pi$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=-\sin y$. Заметим, что при $ 0\leqslant y\leqslant \pi$ выполнено неравенство $ \sin y\geqslant 0$, откуда $ \sin y=\sqrt{1-\cos^2y}$ (корень со знаком $ +$). Поэтому по формуле (4.15)
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{-\sin(\arccos x)}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}}=
-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

Заметим однако, что тот же результат можно было бы гораздо легче получить, используя тригонометрическую формулу $ \arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$, откуда $ \arccos x=\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x$ и $ (\arccos x)'=-(\arcsin x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$     

Свойства функций, непрерывных в области

Назовём множество $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ ограниченным, если оно целиком содержится в шаре достаточно большого радиуса, то есть если найдётся такое число $ R$ , что

$\displaystyle {\Omega}\sbs B_R^0.$

        Теорема 7.6 (об ограниченности и существовании экстремумов)   Если функция $ f$ непрерывна в замкнутой и ограниченной области $ {\Omega}$ , то:

1) функция $ f$ ограничена на $ {\Omega}$ , то есть существует такая постоянная $ M$ , что $ \vert f(x)\vert\leqslant M$ при всех $ x\in{\Omega}$ ;

2) функция $ f$ принимает в области $ {\Omega}$ наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют такие точки $ x^1\in{\Omega}$ и $ x^2\in{\Omega}$ , что при всех $ x\in{\Omega}$ выполняются неравенства $ f(x)\geqslant f(x^1)$ и $ f(x)\leqslant f(x^2)$ .

(В этом случае точка $ x_1$ называется точкой минимума, а точка $ x^2$  -- точкой максимума функции $ f$ в области $ {\Omega}$ .)     

Свойства 1) и 2) аналогичны свойствам функции одного переменного, непрерывной на замкнутом отрезке $ [a;b]$ Найдём производную гиперболического котангенса

Найдём производную функции при

Аналогично находится производная гиперболического косинуса

Математика