Примеры решения задач по математике

Физика
Лекции

Бетатрон

Решения

Реактор

Чертежи

Понятие функции. Основные свойства функций Пример 1. Найти область определения функции .

Сложные и обратные функции Пример. Функция  задана на множестве . Обратная функция имеет вид:

Числовая последовательность и её предел Найти

Непрерывность функции

Свойства функций, непрерывных на отрезке Исследовать функцию   на непрерывность в точке .

Пример 1. Пользуясь определением, найти производную функции

Приложения производной Пример 2. Удовлетворяет ли функция  условиям теоремы Ролля на отрезке

Пример. Найти частные производные  функции .

Правило Лопиталя Найти предел .

Исследование функций с помощью производной Пример 1. Найти интервал монотонности функции

Задачи на максимум и минимум Пример 1. Разбить число 50 на два неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба

Исследовать функцию z = x3 + xy2 + 6 xy на экстремум.

Общая схема исследования функций и построения их графиков

Исследовать функции и построить их графики. Пример. . Функция определена и непрерывна на всей числовой оси

Пример 6. .

Задача 4. Построить график функции двух переменных: z = x2, б)   +  -  = 1.

Пример. Найти асимптоты кривой .

Пример 5. Найти асимптоты кривой .
Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление длины дуги

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: .

Пример. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле . Чтобы изменить порядок интегрирования в данном повторном интеграле, нужно:

1) записать область интегрирования по пределам повторного интеграла в виде неравенств и построить их;

2) записать область интегрирования иначе, изменив порядок интегрирования на обратный порядок интегрирования;

3) расставить новые пределы.

Вычислить криволинейный интеграл  от точки  до точки : 1) по прямой линии , 2) по дуге параболы , 3) по дуге эллипса .

Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру l, образованному пересечением поверхностей   и . Проверить результат с помощью формулы Стокса.

Неопределённый интеграл Пример. Вычислить интеграл . Р е ш е н и е Разделим почленно числитель подынтегральной функции на знаменатель. Применяя свойства интегралов и таблицу интегралов

Метод интегрирования по частям Вычислить интеграл .

Метод замены переменной (метод подстановки) Метод замены переменной является одним из основных методов интегрирования. Пример. Вычислить интеграл.

Интегрирование рациональных функций Пример. Вычислить интеграл .

Интегрирование некоторых видов иррациональностей

Определённый интеграл и его вычисление Основными методами вычисления определённого интеграла являются метод подстановки (замены переменной) и метод интегрирования по частям, известные по изучению неопределённого интеграла.

Несобственные интегралы Пример. Вычислить или доказать расходимость интеграла .

Пример. Исследовать на сходимость числовой ряд .

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  выражением  имеющую период .

Функции нескольких переменных Пример. Найти область определения функции .

Предел и непрерывность Вычислить предел .

Частные производные высших порядков Доказать, что функция   удовлетворяет соотношению .

Экстремум функции двух переменных Пример. Найти экстремум функции

 

Математика