Алгебра Электротехника и электроника Курс лекций по физике Инженерная графика Курсовая по математике

Примеры решения задач по математике

Исследование функций с помощью производной

Монотонность функций

Теорема (достаточное условие возрастания (убывания) функции).

Если производная  () внутри некоторого промежутка X, то функция  возрастает (убывает) на этом промежутке.

Задание. Дать геометрическую интерпретацию условия монотонности функции.

Пример 1. Найти интервал монотонности функции

Р е ш е н и е

Найдём производную .

Функция возрастает, если , то есть .

Функция убывает, если , то есть .

Итак, на интервале   функция убывает; на интервале   функция возрастает.

Теорема (необходимое условие монотонности функции). Если функция  возрастает (убывает) на некотором промежутке X, то производная  () на этом промежутке, при условии ее существования.

Необходимое условие монотонности более слабое, так как из теоремы следует, что в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.

Пример 2. Исследовать на монотонность функцию .

Р е ш е н и е

Производная функции . Видно, что  при , а при  и . Функция же монотонно возрастает на всей числовой оси.

Экстремумы функции

Определение. Функция   имеет в точке  максимум (минимум), если существует окрестность точки , в которой выполняется неравенство  ().

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называются экстремумами.

Экстремумы функции часто называют локальными экстремумами, подчёркивая, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки .

Воспользуемся производной для нахождения экстремумов функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция  имеет в точке  экстремум, то производная  в точке  или равна нулю, или не существует.

Значения аргумента функции , при которых производная равна нулю или не существует, называются точками возможного экстремума или критическими точками.

Достаточное условие экстремума

Первое условие. Пусть функция  имеет производную   в некоторой окрестности  критической точки  (за исключением, может быть, самой точки ), и как слева, так и справа от  производная сохраняет определённый знак. Если при переходе через точку  производная  меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке  функция   имеет максимум (минимум).

Второе условие. Пусть   — стационарная точка, т. е. точка, в которой , и в точке  функция  имеет вторую производную , тогда если  (), то функция  имеет в точке  максимум (минимум).

Алгоритм поиска экстремума функции
одной переменной

Первое правило

Находим производную  функции .

Находим критические точки. Для этого решаем уравнение  и определяем его действительные корни, а также точки, в которых производная равна бесконечности или не существует.

Исследуем каждую из критических точек, расположив их в порядке возрастания, по следующему правилу: если при переходе (слева направо) через критическую точку производная меняет свой знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум; если производная меняет знак с минуса на плюс, то — минимум; если производная знака не меняет, то экстремумов нет.

Найдя абсциссы точек экстремума, вычисляем ординаты, то есть находим соответствующие значения функции.

Замечание. Если исследуем на экстремум разрывные функции, то следует иметь в виду, что такие функции могут достигать максимума или минимума и в точках разрыва. Для таких точек требуется специальное исследование.

Второе правило

Находим производную  функции .

Приравниваем её к нулю и находим стационарные точки, то есть действительные корни уравнения .

Находим вторую производную  функции  (при условии, что она существует).

Находим значение второй производной при каждом из полученных значений аргумента. Если вторая производная будет отрицательной, то при этом значении аргумента функция имеет максимум, если положительной, то — минимум. Если вторая производная обращается в нуль, то для решения вопроса надо рассмотреть поведение высших производных в исследуемой точке или применить первое правило.

Замечание. Второе правило для отыскания экстремума функции не всегда применимо. Этим способом не охватываются случаи, когда первая производная в исследуемой точке не существует или когда вторая производная равна нулю. Первым способом удобно пользоваться и в том случае, когда вычисление второй производной громоздко.

Пример. Найти экстремум функции .

Р е ш е н и е

1 способ. Воспользуемся первым правилом.

Функция определена, непрерывна и дифференцируема при всех . Найдём производную .

 — стационарные точки.

Нетрудно видеть, что слева от точки  производная положительна, справа — отрицательна, следовательно, в точке  функция имеет максимум. Слева от точки   производная отрицательна, а справа положительна, следовательно, в точке  функция имеет минимум.

 — точка максимума.

 — точка минимума.

Результат исследования удобно записать в виде таблицы.

x

–2

(–2;2)

2

+

0

0

+

f(x)

18

–14

 

max

min

2 способ. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Воспользуемся вторым правилом для отыскания экстремума функции. Вычислим производную и приравняем её к нулю.

.

Отсюда  — стационарные точки.

Найдём вторую производную:

Так как , то в точке  — максимум, , то в точке  — минимум.

Наибольшее и наименьшее значения
функции на отрезке

Максимум и минимум — локальные свойства функции. Научимся находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке , тогда по теореме Вейерштрасса она достигает там своих наибольших и наименьших значений. Чтобы определить эти значения, найдем все максимумы и минимумы функции, а также значения функции на концах отрезка. Выбрав среди них самое большое и самое маленькое, найдём тем самым наибольшее и наименьшее значение функции. Можно не проводить исследование функции на экстремум. Определяем значения функции в точках возможного экстремума и на концах отрезка. Сравнивая полученные значения функции, находим наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Замечания. Способ решения задачи выбирают в зависимости от конкретной ситуации. Бывает проще провести исследование функции на экстремум, чем сравнивать несколько значений функции. Это не всегда легко сделать, особенно если эти значения содержат буквы.

Внутри отрезка между a и b может вообще не быть экстремумов, тогда функция или возрастает, или убывает. В этом случае она достигает своих наибольших и наименьших значений на концах отрезка.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [–1; 2].

Р е ш е н и е

Функция определена и непрерывна на отрезке [–1; 2]. Вычислим производную  функции и найдём точки возможного экстремума.

;

;

.

Точка  не принадлежит данному отрезку, поэтому её рассматривать не будем.

Точки  и  принадлежат отрезку [–1; 2], причём точка  совпадает с правым концом отрезка. Определим значения функции в точке  и на концах отрезка:

.

Сравнивая полученные значения функции, заключаем, что  — наименьшее значение функции в точке , а  — наибольшее значение функции в точке .


На главную