Алгебра Электротехника и электроника Курс лекций по физике Инженерная графика Курсовая по математике

Примеры решения задач по математике

Задачи на максимум и минимум

Приведём примерные планы решения текстовых задач на экстремум:

Выбирают независимую переменную и устанавливают область её изменения.

Определяют величину, которую нужно исследовать на максимум и минимум, и выражают её через выбранную независимую переменную.

Находят критические точки, то есть точки, в которых производная исследуемой функции обращается в нуль или не существует (в частности, точки, где производная обращается в бесконечность). Из числа последних точек надо исключить те точки, в которых функция не определена.

В зависимости от области изменения независимой переменной возможны следующие ситуации:

если независимая переменная изменяется на некотором конечном отрезке, то вычисляют значения исследуемой функции в найденных критических точках и на концах отрезков изменения аргумента. Выбирают из этих значений наибольшее или наименьшее;

если независимая переменная изменяется на некотором бесконечном промежутке, то для исследования функции применяют первое или второе правило (см. выше).

Пример 1. Разбить число 50 на два неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Р е ш е н и е

Обозначим одно из слагаемых x, тогда другое слагаемое равно 50 – x. Из условия задачи следует, что независимая переменная будет изменяться на отрезке [0; 50].

Сумма квадратов слагаемых — исследуемая величина. Обозначим её через S. Величина S является функцией от x , так как её значение изменяется с изменением слагаемого x:  . Мы получили функцию, выражающую зависимость суммы S от величины слагаемого x. В задаче требуется найти такое x , при котором S принимает наименьшее значение. Таким образом, задача свелась к нахождению наименьшего значения функции S(x).

Найдём критические точки. Для этого вычислим производную  функции : ; . Откуда . Заметим, что  принадлежит отрезку [0; 50].

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [0; 50]. Для этого вычислим значение функции  в точке   и на концах отрезка:

S(0) = 2500;

S(25) = 625 + 625 = 1250;

S(50) = 2500.

Отсюда видно, что исследуемая функция имеет наименьшее значение при . Число 50 нужно разбить на два равных слагаемых, тогда сумма их квадратов будет наименьшей.

Пример 2. Капитал в 1 млн рублей может быть размещён в банке под 20 % годовых или инвестирован в производство, причём эффективность вложения ожидается в размере 100 %, а издержки задаются квадратичной зависимостью 0,1, где k — вложенный капитал. Прибыль облагается налогом в . Найти наилучшее вложение капитала в зависимости от p (то есть размещение, дающее наибольшую прибыль).

Р е ш е н и е

Пусть доля x от 1 млн. рублей вкладывается в производство, а 1 – x — размещается под проценты в банк. Прибыль в банке составит через год , а прибыль в производстве будет . После обложения этой прибыли налогом в p % чистая прибыль составит  . Общая суммарная прибыль через год составит:

.

Итак, требуется найти наибольшее значение функции P(x) на отрезке [0; 1].

Вычислим производную

,

 при .

Так как , то в точке  функция P(x) имеет максимум.

Вычислим, при каких p значение .

Для этого решим неравенство:

.

Получаем . Причём при p = 75 имеем , а при p = 80 имеем .

Итак, при  капитал выгодно поделить:

часть  инвестировать в производство, а часть  положить в банк. В этом случае через год прибыль будет наибольшей.

Если , то  и на отрезке [0;1] функция P(x) монотонно убывает. Следовательно, наибольшего значения она достигает при x = 0, то есть весь капитал надо положить в банк.

Если , то  на отрезке [0;1] функция P(x) монотонно возрастает и наибольшего значения достигает при x = 1. Следовательно, в этом случае выгоднее весь капитал инвестировать в производство.

6.5. Выпуклость функции. Точки перегиба

Пусть кривая задана уравнением  и пусть в точке  существует производная (конечная или бесконечная), то есть в точке  существует касательная к кривой. Предположим, что касательная в точке  не параллельна оси .

Определение 1. Если в некоторой окрестности  точки  точки кривой с абсциссами из этой окрестности лежат над касательной, то говорят, что кривая в точке  выпукла вниз (рис. 17). Если же в окрестности точки   точки кривой с абсциссами из этой окрестности лежат под касательной, то говорят, что кривая в точке  выпукла вверх (рис. 18).

Определение. Точкой перегиба называется точка графика непрерывной функции, в которой кривая меняет направление выпуклости.

Теорема (необходимое условие перегиба).

В точке перегиба  вторая производная функции f равна нулю

.

Теорема (достаточное условие перегиба).

Если вторая производная  дважды дифференцируемой функции при переходе через точку  меняет свой знак, то  — точка перегиба её графика.


На главную