Алгебра Электротехника и электроника Курс лекций по физике Инженерная графика Курсовая по математике

Примеры решения задач по математике

Общая схема исследования функций и построения их графиков

Найти область определения функции.

Исследовать функцию на чётность и нечётность, периодичность.

Исследовать функцию на непрерывность и вертикальные асимптоты.

Исследовать поведение функции на бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Найти точки пересечения функции с осями координат.

График функции.

Пример 1. .

Р е ш е н и е

1. Область определения функции .

2. Исследуем функцию на чётность или нечётность.

  функция общего вида.

Функция не периодическая.

3. Функция непрерывна в области определения как частные двух непрерывных функций. В точке x = 3 функция терпит разрыв. Найдём односторонние пределы функции в этой точке.

.

.

 — вертикальная асимптота.

4. Будем искать наклонные асимптоты .

.

.

.

.

 — наклонная асимптота.

5. Исследуем на монотонность и экстремумы.

.

 

1

5

+

0

0

+

 

2

 

10

 

max

min

(1; 2) — точка максимума.

(5; 10) — точка минимума.

6. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба.

.

 точек перегиба нет.

На  — функция выпукла вверх.

На  — функция выпукла вниз.

7. Точки пересечения с осями координат.

  — точка пересечения с осью .

  — точки пересечения с осью .

8. График функции (рис. 19).

1

Рис. 19

Пример 2. .

Р е ш е н и е

1. Область определения функции .

2. Исследуем функцию на чётность или нечётность:  функция нечётная.

График её симметричен относительно начала координат. Достаточно провести дальнейшие исследования для . Функция не периодическая.

3. Исследуем функцию на непрерывность.

Функция непрерывна в области определения как частное двух непрерывных функций. Вертикальных асимптот нет.

4. Будем искать наклонные асимптоты.

.

.

Так как , то наклонных асимптот нет.

 — горизонтальная асимптота.

5. Найдём промежутки монотонности и экстремумы функции.

.

2

+

0

1

max

В точке (2; 1) — максимум, в точке (–2; –1) — минимум.

На промежутках  и  — функция убывает,

 на  — функция возрастает.

6. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба.

,

Составим таблицу:

0

0

+

0

0

+

0

 

перегиб

перегиб

перегиб

 

.

 — точки перегиба.

На  функция выпукла вверх.

На  функция выпукла вниз.

7. Найдём точки пересечения с осями координат:

При  — точка пересечения с осями  и .

8. Построим график функции (рис. 20).

2

Рис. 20


На главную