Алгебра Электротехника и электроника Курс лекций по физике Инженерная графика Курсовая по математике

Примеры решения задач по математике

Интегрирование некоторых классов функций

Интегрирование рациональных функций

Рассмотрим рациональную функцию , где  — многочлен степени ,  — многочлен степени .

Если , то есть дробь неправильная, то её можно представить в виде

Здесь  — правильная дробь.

Правильная дробь может быть разложена на простейшие дроби.

Существуют простейшие дроби четырёх типов:

1.  

2.

3.

4.

 — действительные числа; квадратный трёхчлен  не имеет действительных корней, к = натуральное число.

Необходимо научиться интегрировать простейшие дроби четырёх типов.

Задание. Самостоятельно изучить интегрирование простейших дробей по учебникам, указанным в списке литературы.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Заметим, что числитель отличается от производной знаменателя, равной , постоянным множителем 5, поэтому

.

Пример 2 Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Перепишем интеграл в виде:

.

Сделаем замену переменной.

Пусть , тогда .

Имеем:

.

Пример 3.Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Разложим подынтегральную дробь на простейшие.

.

Найдём числа  с помощью метода неопределённых коэффициентов. Приведём правую часть последнего равенства к общему знаменателю.

.

Освобождаясь от знаменателей, получим:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  в обеих частях равенства, получим систему уравнений для определения коэффициентов

Таким образом, мы получили разложение рациональной дроби на простейшие

.

Интегрируя, получим:


На главную