Алгебра Электротехника и электроника Курс лекций по физике Инженерная графика Курсовая по математике

Примеры решения задач по математике

Интегрирование некоторых видов иррациональностей

При интегрировании иррациональных функций основная задача заключается в выборе такой подстановки, которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное, то есть рационализирует его.

Пусть  — рациональная функция от  и , то есть функция, полученная из  и  с помощью конечного числа арифметических операций.

Рассмотрим интеграл вида

.

Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки .

Пример 1. Вычислить интеграл

.

Р е ш е н и е

Под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же подкоренным выражением. Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому используем подстановку . Отсюда .

Заменяя переменную в интеграле, получим:

Рассмотренный интеграл является частным случаем интеграла

.

Пусть , тогда интеграл сведётся к интегралу от рациональной функции.

В общем случае интеграл имеет вид:

,

где  — рациональные числа.

Находим общий знаменатель  дробей  и используем подстановку .

Пример 2. Вычислить интеграл

.

Р е ш е н и е

Используем подстановку (см. пример 1) , тогда

Подставляя в заданный интеграл, получим

Интегрирование
тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида: , где  — рациональная функция от  и .

Такие интегралы всегда рационализируются с помощью универсальной подстановки

Здесь 

 .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Воспользуемся универсальной подстановкой . Имеем:

Заменив переменную, вычислим интеграл.

Универсальная подстановка во многих случаях приводит к громоздким выкладкам, поэтому рассмотрим некоторые частные подстановки, упрощающие вычисления.

1) Подынтегральная функция является нечётной относительно , то есть  В этом случае используется подстановка .

2) Подынтегральная функция является нечётной относительно , то есть  В этом случае используется подстановка .

3) Если подынтегральная функция зависит нечётным образом и от , и от , то можно использовать подстановки или  или .

4) Если подынтегральная функция зависит чётным образом и от , и от , тогда используем подстановку . Отсюда

;

Пример 2. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

В данном случае имеем:

Воспользуемся подстановкой , откуда .

Имеем:

Пример 3. Вычислить интеграл

.

Р е ш е н и е

Подынтегральная функция чётным образом зависит и от , и от , поэтому применяем подстановку .

Разделим числитель и знаменатель дроби на  и введём под знак дифференциала множитель .

В итоге получим:

Пример 4. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой

.

Получим:

.


На главную