Алгебра Электротехника и электроника Курс лекций по физике Инженерная графика Курсовая по математике

Примеры решения задач по математике

Предел и непрерывность

Рассмотрим функцию двух переменных .

Определение. Число   называется пределом функции  в точке  (при  и ), если для любого  существует число  такое, что для всех точек , отстоящих от точки  на расстояние, меньшее, чем , выполняется неравенство

и записывают .

Пример 1. Вычислить предел .

Р е ш е н и е

Перепишем функцию в виде:

.

Введём новую переменную . Так как  при  и , то имеем:

.

Кроме того, , поэтому .

Пример 2. Существует ли   ?

Р е ш е н и е

Пусть точка  стремится к точке  по прямой , проходящей через точку . Тогда получим:

.

Таким образом, приближаясь к точке   по различным прямым, соответствующим различным значениям , получаем разные значения предела. Отсюда следует, что предел функции в точке  не существует.

Определение. Функция   называется непрерывной в точке , если

.

Частные производные
и дифференциалы функции

Рассмотрим функцию . Придадим переменной  приращение , а переменной  — приращение . Тогда функция  примет новое значение .

Величина  называется полным приращением функции в точке .

Если придать приращение  только переменной   или только переменной , то получим частные приращения функции

,

.

Определение. Если существует конечный предел

то он называется частной производной по переменной  (по переменной ).

Обозначают  или  ( или ).

Пример 1. Найти частные производные функции

.

Р е ш е н и е

При нахождении частной производной по  считаем  постоянным и дифференцируем по :

.

Аналогично

.

Пример 2. Найти частные производные функции .

Р е ш е н и е

Частная производная по   берётся от степенной функции (при ), а частная производная по  вычисляется как от показательной функции (при).

Произведение частной производной   на произвольное приращение аргумента  называется частным дифференциалом по  функции  и обозначается символом

.

Аналогично определяется дифференциал по :

.

Определение. Дифференциалом функции  называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих переменных, то есть

 или .

Следовательно, полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов

.

Определение. Функция   называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

 или 

где  — дифференциал функции,  — бесконечно малые функции при .

Отсюда следует, что дифференциал функции нескольких переменных, как и в случае функции одной переменной, представляет собой главную линейную относительно  и  часть полного приращения функции.

Пример. Найти полный дифференциал функции

в точке  при .

Р е ш е н и е

Найдём частные дифференциалы:

Следовательно,


На главную