Алгебра Электротехника и электроника Курс лекций по физике Инженерная графика Курсовая по математике

Примеры решения задач по математике

Экстремум функции двух переменных

Термины «максимум» и «минимум» функции нескольких переменных имеют тот же смысл, что и для функции одной переменной.

Определение. Точка   называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки  такая, что для всех точек  из этой окрестности выполняется неравенство

.

Теорема (необходимое условие экстремума).

Если точка  есть точка экстремума дифференцируемой функции , то частные производные  и  в этой точке равны нулю.

Точки, в которых обе частные производные функции  обращаются в нуль, называются стационарными точками.

Дифференцируемая функция может и не иметь экстремума в стационарной точке.

Теорема (достаточное условие экстремума).

Пусть в стационарной точке   функция  имеет непрерывные частные производные второго порядка

Тогда функция  имеет в точке  экстремум, если

,

причём, если  — максимум, если  — минимум. Если , то функция  экстремума не имеет.

Если , то теорема ответа на вопрос о наличии экстремумов не даёт.

Пример. Найти экстремум функции .

Р е ш е н и е

Исследование на экстремум будем проводить по следующему плану:

1) Найдём частные производные  и

 

2) Решим систему уравнений

и найдём стационарные точки функции

Получим две точки   и .

3) Найдём частные производные второго порядка и вычислим их значения в каждой из стационарных точек.

  

4) Проверим достаточное условие экстремума.

  а) Рассмотрим точку

Поэтому в точке  функция экстремума не имеет.

  б) Рассмотрим точку .

Функция в точке  имеет экстремум. Так как , то в точке  — минимум.


На главную