Физика | |||
Лекции | |||
Решения | |||
Чертежи | |||
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
.
▲ 1) Первый интеграл является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования. Согласно определению (5.9), имеем
.
2) Второй интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции; функция
терпит бесконечный разрыв в нижнем пределе
. Согласно определению (5.10) получаем
.
Оба несобственных интеграла сходятся. ▼
Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
и
.
▲ Находим точки пересечения данных кривых:
у
2
х
−2 −1 O 1 2 3 4
−2
−4
Рис.8
Следовательно, по формуле (5.11) имеем (см. рис. 8)
. ▼
Пример 9. Вычислить длину одной арки циклоиды
,
.
▲ Поскольку все арки циклоиды одинаковы, рассмотрим ее первую арку, вдоль которой параметр t изменяется от 0 до 2p (см. рис. 9). Тогда, согласно формуле (5.15), имеем
,
у
2
О 2 4 6 х
Рис. 9
. ▼
Пример 10. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси
кривой
.
▲ Объем полученного тела вращения найдем по формуле (5.17):
. ▼
|