Примеры решения задач по математике

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: .

▲ 1) Первый интеграл является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования. Согласно определению (5.9), имеем

.

2) Второй интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции; функция  терпит бесконечный разрыв в нижнем пределе . Согласно определению (5.10) получаем

.

Оба несобственных интеграла сходятся. ▼

Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

▲ Находим точки пересечения данных кривых:

у

 2

 

  х 

 −2 −1 O 1 2 3 4 

 

  −2

 

 −4

Рис.8

Следовательно, по формуле (5.11) имеем (см. рис. 8)

. ▼

Пример 9. Вычислить длину одной арки циклоиды

, .

▲ Поскольку все арки циклоиды одинаковы, рассмотрим ее первую арку, вдоль которой параметр t изменяется от 0 до 2p (см. рис. 9). Тогда, согласно формуле (5.15), имеем ,

 у

 2

 О 2 4 6 х

Рис. 9

. ▼

Пример 10. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси  кривой .

▲ Объем полученного тела вращения найдем по формуле (5.17):

. ▼