Пример 1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
.
Чтобы изменить порядок интегрирования
в данном повторном интеграле, нужно:
1) записать область интегрирования по пределам повторного интеграла в виде неравенств и построить их;
2) записать область интегрирования иначе, изменив порядок интегрирования на обратный порядок интегрирования;
3) расставить новые пределы.
В результате перемены порядка интегрирования может вместо одного интеграла получиться два и больше и, наоборот, из нескольких – один повторный интеграл.
Помните, что внешние пределы постоянны, а внутренние чаще всего переменны.
▲ 1) Из пределов
интегрирования в повторном интеграле следует, что область интегрирования G данного
повторного интеграла ограничена прямыми линиями 
и 
, линией 
и прямой 
, т. е.
Линия 
представляет собой дугу окружности
с центром в точке 
и радиусом равным 1 (см. рис. 8).
у
−0.5
−2 −1 O х
Рис. 8
2) Область интегрирования G, правильная относительно
оси Oy, проектируется на ось Ox в отрезок 
.
Верхняя граница области интегрирования 
на отрезке задана двумя аналитическими выражениями: 
и 
. Следовательно, разбиваем область интегрирования
прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку пересечения линий
и , абсцисса которой -1,
на две области 
и 
:
3) Получаем 
. ▼
Пример 2. Вычислить
объем тела, ограниченного поверхностями 
, 
.
▲ По заданным уравнениям поверхностей строим
область W методом сечений (находим сечения
тела координатными плоскостями и плоскостями, параллельными им): 
- парабола; 
- парабола; 
- окружность.
Следовательно, 
- параболоид вращения. Область G (сечение параболоида плоскостью
) окружность
.
Перейдем к цилиндрической системе координат.
. ▼