Физика | |||
Лекции | |||
Решения | |||
Чертежи | |||
Пример 1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
.
Чтобы изменить порядок интегрирования
в данном повторном интеграле, нужно:
1) записать область интегрирования по пределам повторного интеграла в виде неравенств и построить их;
2) записать область интегрирования иначе, изменив порядок интегрирования на обратный порядок интегрирования;
3) расставить новые пределы.
В результате перемены порядка интегрирования может вместо одного интеграла получиться два и больше и, наоборот, из нескольких – один повторный интеграл.
Помните, что внешние пределы постоянны, а внутренние чаще всего переменны.
▲ 1) Из пределов интегрирования в повторном интеграле следует, что область интегрирования G данного повторного интеграла ограничена прямыми линиями
и
, линией
и прямой
, т. е.
Линия
представляет собой дугу окружности
с центром в точке
и радиусом равным 1 (см. рис. 8).
у
−0.5
−2 −1 O х
Рис. 8
2) Область интегрирования G, правильная относительно оси Oy, проектируется на ось Ox в отрезок
. Верхняя граница области интегрирования
на отрезке
задана двумя аналитическими выражениями:
и
. Следовательно, разбиваем область интегрирования прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку пересечения линий
и
, абсцисса которой -1, на две области
и
:
3) Получаем
. ▼
Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
,
.
▲ По заданным уравнениям поверхностей строим область W методом сечений (находим сечения тела координатными плоскостями и плоскостями, параллельными им):
- парабола;
- парабола;
- окружность.
Следовательно,
- параболоид вращения. Область G (сечение параболоида плоскостью
) окружность
.
Перейдем к цилиндрической системе координат.
. ▼
|