Алгебра Электротехника и электроника Курс лекций по физике Инженерная графика Курсовая по математике

Примеры решения задач по математике

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл  от точки  до точки : 1) по прямой линии , 2) по дуге параболы , 3) по дуге эллипса .

 у 

 

 1

 O 0.5 х

   

 Рис. 9

▲ Сделаем чертеж (рис. 9).

1)

.

2)

3)

. ▼

Пример 4. Вычислить поток векторного поля  через замкнутую поверхность S, образованную плоскостью  и частью конуса . Проверить результат с помощью формулы Остроградского-Гаусса.

▲ Поверхность S состоит из двух поверхностей:  - части конуса  и  - части плоскости . Поэтому поток через поверхность S равен сумме потоков вектора a через составляющие поверхности:

,

где  и  - внешние единичные нормали к конусу и плоскости соответственно

Вычислим поток через поверхность , уравнение которой в явном виде  (так как ). Исключая z из уравнений  и , получим уравнение границы области G (проекции поверхности  на плоскость ): . Вектор внешней нормали к поверхности

.

Здесь в выражении для нормали выбран знак «-», так как угол между осью

и нормалью n1 - тупой, и, следовательно, .

Найдем скалярное произведение векторов

.

Учитывая, что  на поверхности

,

по формуле (9.16) получаем . Область G есть круг . Поэтому переходим к полярным координатам

Вектор внешней нормали к поверхности  .

Здесь в выражении для нормали выбран знак «+», так как . Тогда имеем

;

.

Таким образом, поток векторного поля через поверхность  равен .

Найдем решение этой задачи с помощью формулы Остроградского-Гаусса (9.20). Дивергенция поля  равна

,

а поток (в цилиндрической системе координат)

.

Следовательно, как и в первом случае, . ▼


На главную