Пример 1. Найти асимптоты кривой 
.
а)
При 
данная кривая имеет бесконечный разрыв.
Поэтому прямая есть её вертикальная асимптота;
б) далее ищем наклонные асимптоты:
;
.
Подставляя найденные
значения 
и 
в уравнение 
, получим уравнение наклонной асимптоты:
.
Других наклонных асимптот
кривая не имеет, так как при 
и 
значения и будут те же самые (рис. 19).
Пример 2. Найти
асимптоты кривой 
.
а) Кривая не имеет вертикальных асимптот, так как она всюду непрерывна;
б)
,
т. е. при угловой коэффициент
асимптоты не существует, следовательно при кривая не имеет асимптоты.
;
.
Следовательно, при
кривая имеет горизонтальную асимптоту 
(ось
) (рис.20).
Пример 3. Найти
асимптоты кривой 
.
а) Кривая
не имеет бесконечных разрывов, поэтому
не имеет и вертикальных асимптот;
б) 
, так как 
;
.
И при , и при значения и будут одинаковыми. Следовательно, при , и при кривая имеет асимптоту 
. Эта кривая бесчисленное множество
раз пересекает свою асимптоту, переходя с одной ее стороны на другую (рис. 21).
Способ
приближения кривой к своей наклонной асимптоте, определяется путем, исследования
знака разности ординат кривой и асимптоты. Здесь эта разность бесчисленное множество
раз меняет свой знак в точках, где 
, 
Пример 4. Найти асимптоты кривой 
.
а) Кривая не имеет вертикальных
асимптот, так как она всюду непрерывная;
б) 
;
. Применяя правило Лопиталя дважды, получим
.
Следовательно, при
кривая имеет асимптоту 
.
.
Следовательно, при
кривая имеет асимптоту 
. (рис.
22).