Алгебра Электротехника и электроника Курс лекций по физике Инженерная графика Курсовая по математике

Примеры решения задач по математике

Пример 6. .

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси.

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

.

а) Вертикальных асимптот нет;

б) ;

;

.

Следовательно, график функции имеет две наклонные асимптоты:  и .

 существует всюду и обращается в нуль в точках , которые являются критическими. Исследуем эти точки по знаку второй производной:

.

Следовательно,  есть точка максимума, а  есть точка минимума:

.

В интервалах  и , где , функция возрастает, а в интервале , где , функция убывает.

рис всюду существует и обращается в нуль в точке . Определяя знак  слева и справа от этой точки, заключаем, что при  график функции имеет точку перегиба. Слева от нее, в интервале  где , график функции выпуклый, а справа, в интервале , где , он вогнутый.

Согласно результатам исследования строим график функции (рис. 32).

Пример 7. .

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси.

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

Функция всюду неотрицательна; ее график проходит через начало координат. .

а) Вертикальных асимптот график функции не имеет;

б) При , т. е. при  асимптоты нет.

При

т. е. при  график функции имеет горизонтальную асимптоту .

, при  и , при

 нигде не обращается в нуль и существует всюду, кроме точки , которая является критической. Слева от этой точки, где , функция убывает, а справа от нее, где , функция возрастает. Это значит, что  есть точка минимума: .

, при  и , при ;

рис нигде не обращается в нуль и существует всюду, кроме точки . Слева от этой точки, где , график функции обращен выпуклый, а справа от нее, где , график функции вогнут. Следовательно,  есть абсцисса точки перегиба. Здесь точка перегиба совпала с точкой графика, в которой ордината имеет минимальное значение.

Согласно полученным данным, строим график функции (рис. 33).

 


На главную