Алгебра Электротехника и электроника Курс лекций по физике Инженерная графика Курсовая по математике

Примеры решения задач по математике

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть функция  z = f (x, y) определена в области D и точка М0 (x0, y0) является внутренней точкой этой области.

Определение 1. Функция z = f (x, y) имеет в точке М0 локальный максимум, если в некоторой окрестности этой точки функция удовлетворяет неравенству: f (x, y) < f (x0, y0).

Определение 2. В точке М0 (x0, y0) функция имеет локальный минимум, если в ее окрестности выполняется неравенство: f (x, y) > f (x0, y0).

Максимум и минимум функции называются экстремумом функции.

4.1.2. В чем заключаются необходимые условия

 экстремума ?

Ответ на вопрос дает теорема.

Теорема 1. Если функция z = f (x, y) достигает экстремума в точке М0 (x0, y0), то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль в этой точке или не существует.

Точки в которых  = 0  = 0 (или не существуют) называются критическими точками функции.

Теорема 2. Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой области и точка М0 (x0, y0), - ее критическая точка. Пусть при этом функция имеет частные производные второго порядка, непрерывные в точке М0 и ее окрестности. Введем обозначения

А = , В = , C = .

Тогда:

1) если АС – В2 > 0, функция имеет в точке М0 локальный экстремум, причем если А > 0 – локальный минимум, если А < 0 – локальный максимум;

2) если АС – В2 < 0, экстремума в точке М0 нет;

3) если АС – В2 = 0, вопрос о наличии экстремума остается открытым (в этом случае требуется дальнейшее исследование).

4.1.4. Как найти наибольшее и наименьшее значение

 функции в замкнутой области ?

Непрерывная в замкнутой области функция принимает там наибольшее и наименьшее значения. Пусть функция

z = f (x, y) непрерывна в области D вместе со своими первыми частными производными. Свои наименьшее и наибольшее значения функция принимает либо на границе области либо внутри ее. Чтобы найти эти значения, сначала находим критические точки внутри области из условия:   = 0;

 = 0, затем находим наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D. Сравнивая полученные значения функции с ее значениями во внутренних критических точках области D, выбираем среди всех значений наибольшее и наименьшее значения функций.

4.2. Примеры решения задач

Задача 1. Исследовать функцию z = x3 + xy2 + 6 xy на экстремум.

Решение. Решение разобьем на три этапа.

1) Найдем критические точки, пользуясь необходимыми условиями экстремума:

 Þ Þ 

или (1)  Þ  , т.е. М1 (0, 0), М2 (0, -6).

или (2)  Þ  Þ   , т.е.

М3 = (-; -3), М4 = (; -3).

Итак, мы нашли четыре критические точки.

2) Найдем частные производные второго порядка:

А =  = 6х, B =  = 2y +6, C =  = 2x.

3) Используя достаточные условия экстремума, исследуем характер критических точек:

М1 (0, 0), A = 0; B = 6; C = 0. D = AC – B2 = -36 < 0

значит в точке М1 (0, 0) экстремума нет.

М2 (0, -6), A = 0; B = -6; C = 0. D = AC – B2 = -36 < 0

экстремума нет.

М3 (-, -3), A = -6; B = 0; C = -2. D = AC – B2 =

= 36 > 0, значит в точке М3 (-, -3) функция имеет экстремум, а т.к. А < 0, то это точка максимума.

М4 (, -3), A = 6; B = 0; C = -2. D = AC – B2 =

= 36 > 0, значит в точке М4 (, -3) функция имеет экстремум, а т.к. А < 0, то это точка минимума.

Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 + 3y2 + x – y в области D: х ³ 1, y ³ -1;

x + y £ 1.

y

 
Решение.

 


Указанная область есть треугольник, заштрихованный на рисунке. Решение разобьем на три этапа.

1) Найдем критические точки:

 Þ  Þ М (-1/2, 1/6).

Эта точка не принадлежит данной области.

2) Исследуем функцию на границах области.

При х = 1 имеем z = 3y2 – у + 2, и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одного аргумента на отрезке  -1 £ у £ 0 z¢ = 6y – 1 = 0 

y = 1/6 Ï [-1, 0]. Найдем значения функции на концах отрезка:

z (-1) = 6

z (0) = 2.

При у = -1 имеем z = x2 + x + 4 на отрезке 1 £ х £ 2

z¢ = 2х + 1 = 0 х = -1/2 Ï [1, 2] z (1) = 6

z (2) = 10.

При  у = 1 – х имеем z = x2 + 3 (1 – x)2 + x – (1 – x) = x2 + 3 –

- 6x + 3x2 + x – 1 + x = 4x2 – 4x + 2 на отрезке 1 £ х £ 2

z¢ = 8х - 4 = 0 х = 1/2 Ï [1, 2] z (1) = 2

z (2) = 10.

3) Из шести найденных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее:

z  наибольшее = 10 в точке (2, -1)

z наименьшее = 2 в точке (1, 0).

Задача 3. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной вместимости V имеет наименьшую поверхность ?

Решение.

 


На рисунке обозначены размеры ванны

V = x × y ×Þ z = .

Представим поверхность ванны (S) как функцию двух переменных х и у:

S = xy + 2 yz + 2 xz = xy + .

Найдем экстремум данной функции S (x, y)

 Þ   Þ  Þ   Þ

Þ х = у = .

Критическая точка М (, ).

Найдем частные производные второго порядка:

А =  =  =  = 2; B =  = 1;

C =  =  = 2.

D = АС – В2 = 2 × 2 – 1 = 3 > 0, A > 0 Þ в точке М функция имеет минимум. Итак, размеры ванны должны быть: в основании - квадрат со стороной , высота

z =  =  =  =  -

- в два раза меньше стороны основания.


На главную