Алгебра Электротехника и электроника Курс лекций по физике Инженерная графика Курсовая по математике

Примеры решения задач по математике

Производная

Определение производной возникло в результате абстракции из большого числа разнообразных задач геометрического, физического, экономического содержания. Среди них выделяют задачу о касательной, задачу о мгновенной скорости, задачу о производительности труда.

Пусть функция определена на промежутке X, точка принадлежит X.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (если он существует), при стремлении последнего к нулю

.

Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , то есть

.

Уравнение касательной имеет вид:

.

Из задачи о мгновенной скорости следует механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент , то есть

.

Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент

.

Основные правила дифференцирования

1)  производная постоянной равна нулю.

2) .

3) .

4) .

Производная сложной функции , тогда .

Производная обратной функции .

Таблица производных основных элементарных функций

1) .

2) ,

 .

3) ,

 .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

Пример 1. Пользуясь определением, найти производную функции

Р е ш е н и е

1. Дадим аргументу  приращение  и найдем соответствующее приращение функции:

.

2. Составим отношение

.

3. Найдем предел отношения   при  то есть

Итак, .

Пример 2. Найти производную функции

Р е ш е н и е

Пользуясь правилами дифференцирования суммы и частного и таблицей производных, получим

.

Пример 3. Найти производную функции .

Р е ш е н и е

Данную функцию можно представить в виде  где , . Пользуясь правилом вычисления производной сложной функции, получим:

.

Пример 4. Найти производную неявно заданной функции:

.

Р е ш е н и е

Дифференцируя обе части равенства и учитывая, что y есть функция от x, получим . Полученное уравнение разрешим относительно :

Пример 5. Найти если

.

Р е ш е н и е

Производная функции, заданной параметрически, находится по формуле:

Пример 6. Найти производную функции

Р е ш е н и е

Логарифмируя обе части равенства, получаем:  Дифференцируем обе части равенства:

;

Отсюда:

Пример 7. Зависимость между издержками производства и объемом выпускаемой продукции  выражается функцией (ден. ед.). Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

Р е ш е н и е

Функция средних издержек на единицу продукции выражается формулой

При  получим:  (ден. ед.). Функция предельных издержек выражается производной , при  предельные издержки составят  (ден. ед.). Таким образом, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 92 ден. ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объеме продукции 10 ед.) составляют 76 ден. ед.


На главную