Алгебра Электротехника и электроника Курс лекций по физике Инженерная графика Курсовая по математике

Примеры решения задач по математике

Приложения производной

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция  достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке  этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть .

Геометрический смысл теоремы

В точке касательная к графику функции параллельна оси 0x (рис. 14).

Рис. 14

Теорема Ролля. Пусть функция : 1) определена и непрерывна на отрезке ; 2) дифференцируема на интервале ; 3) на концах отрезка принимает равные значения, то есть

Тогда внутри отрезка   существует по крайней мере одна точка в которой производная равна 0, то есть .

Геометрический смысл теоремы

Рис. 15

Существует по крайней мере одна точка на в которой касательная к графику функции будет параллельна оси  (рис. 15).

Теорема Лагранжа. Пусть функция

1) определена и непрерывна на отрезке

2) дифференцируема в интервале .

Тогда внутри отрезка   существует по крайней мере одна точка   в которой

 или . (1)

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

Геометрический смысл теоремы

Найдётся хотя бы одна точка , в которой касательная к графику функции  параллельна хорде, проходящей через точки  и  (рис. 16).

Рис. 16

Заметим, что теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Пример 1. Удовлетворяет ли функция  условиям теоремы Ферма на отрезке ?

Р е ш е н и е

Функция достигает наименьшего значения, равного 0 на левом конце отрезка и наибольшего значения, равного 1, на правом конце отрезка. Условие теоремы не выполнено. Производная функции  при  равна 0, при  равна 2. Таким образом, несмотря на то, что функция в точке  достигает наибольшего значения и на этом конце отрезка имеет конечную производную, эта производная отлична от нуля.

Пример 2. Удовлетворяет ли функция  условиям теоремы Ролля на отрезке

Р е ш е н и е

Функция удовлетворяет первому и третьему условиям теоремы Ролля, так как она непрерывна на  и на концах этого отрезка принимает равные значения  Второе условие теоремы не выполнено, так как в точке   производной функция не имеет. В этой точке существуют лишь односторонние производные: слева, равная ; справа, равная . Поэтому к данной функции теорема Ролля не применима.

Пример 3. Удовлетворяет ли функция  условиям теоремы Лагранжа на отрезке ?

Р е ш е н и е

Функция  и непрерывна на отрезке  и имеет конечную производную   на интервале , поэтому удовлетворят условиям теоремы Лагранжа. Точку с найдем из уравнения:


На главную