Алгебра Система неравенств с одной переменной Система линейных уравнений Решить систему уравнений Показательные и логарифмические неравенства Условная вероятность


Алгебра формулы, уравнения, системы

Рациональные неравенства

Пример

Решите неравенство

Показать решение

Отметим на числовой оси нули многочлена, стоящего в левой части неравенства. При x > 4 все множители положительны. При переходе через точку x = 4 многочлен не меняет знак, так как двучлен ( x – 4) входит в чётной степени. При переходе через точку x = 1 знак многочлена изменится, так как ( x – 1) входит в нечётной степени. На промежутке (–5; –3) многочлен отрицателен, так как при переходе через точку x = –3 он не изменит знак (множитель ( x + 3) в чётной степени). При переходе через точку x = –5 знак опять меняется, так как ( x + 5) входит в первой степени.

1

Чередование знаков отразим на рисунке с помощью так называемой кривой знаков. Наиболее быстро это можно сделать следующим образом. Выясним, какой знак имеет многочлен на самом правом промежутке, для этого нужно лишь понять, какие знаки будут иметь все сомножители, если в этот многочлен подставить достаточно большое число (большее самого большого корня многочлена). После этого определяем знак всего многочлена на этом промежутке и начинаем рисовать кривую знаков справа налево, переходя через точки (меняя знак) или «отражаясь» от числовой оси (если степень двучлена, соответствующего данной точке, чётна). Теперь, двигаясь в обратном направлении, с рисунка считываем:

Ответ.

Если правая и левая части данного неравенства являются дробно-рациональными функциями, то это неравенство называется рациональным .

Рассмотрим стандартный приём решения рациональных неравенств, основанный на сведении данного неравенства к неравенству для многочлена, метод решения которого (метод интервалов) нам уже известен. Итак, рассмотрим рациональное неравенство

f ( x ) > g ( x ),

где f ( x ) и g ( x ) − рациональные функции, то есть функции, представимые в виде отношения многочленов. Перенося обе части рационального неравенства в левую часть, представим её в виде отношения двух многочленов: (Такой вид неравенства называется стандартным .) Заметим, что:

Итак,

Левая часть полученных неравенств есть произведение многочленов, то есть сама является многочленом. А поскольку его знак совпадает со знаком дроби то дробь меняет или не меняет знак при переходе через точку x = a в зависимости от того, входит в него двучлен ( x – a ) в чётной или нечётной степени.

Если же двучлен ( x – a ) входит в многочлен P ( x ) в степени k , а в многочлен Q ( x ) − в степени l , то в многочлен P ( x ) · Q ( x ) этот двучлен войдёт в степени k + l , а в дробь − в степени k – l . Легко проверить, что для любых чисел k и l чётность чисел k + l и k – l одинакова. Следовательно, вывод о поведении дроби при переходе через точку x = a мы сделаем в точности такой же, как если бы наше неравенство было представлено в виде многочлена P ( x ) · Q ( x ).


Предмет теории вероятностей