Алгебра Система неравенств с одной переменной Система линейных уравнений Решить систему уравнений Показательные и логарифмические неравенства Условная вероятность


Алгебра формулы, уравнения, системы

Иррациональные неравенства

Неравенства вида

ОДЗ данного неравенства: Предположим, что функции f ( x ) и g ( x ) не имеют общих корней. Рассмотрим вспомогательное неравенство (*)

1. Если g ( x ) < 0, то для любого x из ОДЗ выполнено

2. Если g ( x ) ≥ 0, то выражение может иметь любой знак, но выражение всегда строго положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число не меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству Таким образом, в ОДЗ

Значит, при g ( x ) ≥ 0, знак разности совпадает со знаком разности в ОДЗ.

Получаем следующие условия равносильности.

Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.

Пример 7

Решите неравенство

Показать решение

Выполним равносильные в ОДЗ преобразования и приведём неравенство к удобному для применения результатов настоящего пункта виду.

Мы не случайно сделали последнее преобразование. Важно понимать, чему здесь конкретно равняется функция g ( x ) = 2 x – 8. Типичной ошибкой является считать, что g ( x ) = 2 x + 8.

ОДЗ данного неравенства: то есть Теперь перейдём к равносильной системе. В ОДЗ С учётом ОДЗ сразу получаем:

Ответ.
Предмет теории вероятностей