Алгебра Система неравенств с одной переменной Система линейных уравнений Решить систему уравнений Показательные и логарифмические неравенства Условная вероятность


Алгебра формулы, уравнения, системы

Тригонометрические уравнения

Пример 

Решите уравнение sin x – 2 cos x = 0.

Показать решение

Преобразуем уравнение sin x =  2 cos x . Рассмотрим те x , для которых cos x = 0. Для этих x sin x = ±1. Следовательно, эти x не являются корнями исходного уравнения, так как при их подстановке получается неверное числовое равенство 0 = ±1. Значит, cos x ≠ 0. Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0, имеем tg x = 2, x = arctg 2 + π n ,

Ответ. x = arctg 2 + π n ,

Пример 3

Решите уравнение sin 2 x – 6 sin x cos x + 5 cos 2 x = 0.

Показать решение
Те значения переменной x , для которых cos x = 0, не являются решениями, в чём можно убедиться непосредственной подстановкой. Разделим обе части уравнения на cos 2 x , получим tg 2 x – 6 tg x + 5 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно переменной t = tg x : t 2 – 6 t + 5 = 0. Корни этого уравнения: и Уравнение имеет решения Уравнение tg x = 5 имеет решения

Ответ.

Только что рассмотренные уравнения называются однородными уравнениями соответственно 1-го и 2-го порядка . . Однородным многочленом n -ного порядка относительно переменных u и v называется многочлен, у которого сумма степеней переменных постоянна у всех членов.

Аналогично, уравнения au + bu = 0 и au 2 + bvu + cv 2 = 0 также называются однородными уравнениями 1-го и 2-го порядка. В нашем случае было u = sin x и v = cos x .

Уравнение 1-го порядка делением на v сводится к линейному относительно новой переменной Уравнения 2-го порядка делением на сводятся к квадратному относительно

Уравнения с обратными тригонометрическими функциями, как правило, удаётся решить, применяя одну и ту же тригонометрическую функцию к обеим частям данного уравнения.

Пример 4

Решите уравнение arccos x = arctg x .

Показать решение

Применим функцию косинус к обеим частям данного уравнения. Имеем Так как область определения данного уравнения − множество то: Значит, x > 0. Решаем полученное иррациональное уравнение: Так как x > 0, то

Ответ.


Предмет теории вероятностей