Алгебра Система неравенств с одной переменной Система линейных уравнений Решить систему уравнений Показательные и логарифмические неравенства Условная вероятность


Алгебра формулы, уравнения, системы

Симметрические системы

Пример 

Решите систему уравнений

Показать решение

Эта система является симметрической, поэтому делаем стандартную замену Поскольку а из второго уравнения системы следует, что то Левая часть второго уравнения перепишется так: Относительно u  и  v получаем систему

Перейдем к переменным x  и  y :

1)

2)

Ответ.

Пример  6

Решите систему уравнений

Показать решение

Эта система – симметрическая, поэтому делаем стандартную замену u  =  x  +  y ,  v  =  xy . Преобразуем левую часть первого уравнения: тогда система принимает вид:

Итак, для u получаем уравнение Вспомним теорему о рациональных корнях многочленов (§ 2.1.5). Рациональные корни нашего уравнения нужно искать среди делителей числа –4. Перебирая все делители, убеждаемся, что рациональных корней у уравнения нет. Однако эта теорема и не была теоремой существования корней. Указанная теорема констатировала лишь следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами существуют рациональные корни (но для них имеется ещё возможность НЕ существовать), то эти корни будут иметь некоторый специальный вид. Тот случай, когда рациональных корней нет, эта теорема и не описывала.

Попробуем найти корни уравнения исходной системы среди иррациональных чисел. Однако для этого придется проявить некоторую изобретательность: стандартная замена для симметрических систем здесь, очевидно не работает.

Возводя второе уравнение в куб, получим: Таким образом, по теореме Виета, и являются корнями квадратного уравнения Отсюда и Значит,

Заметим, что мы нашли один из корней уравнения

Ответ.


Предмет теории вероятностей