Алгебра Система неравенств с одной переменной Система линейных уравнений Решить систему уравнений Показательные и логарифмические неравенства Условная вероятность


Алгебра формулы, уравнения, системы

Сравнение и отображение множеств

Пример

Множество натуральных чисел равномощно множеству нечётных чисел, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, например, по следующему правилу:

1 2 3... n ... ↕ ↕ ↕ ↕ 1 3 5... 2 n – 1...

Так как множество нечётных чисел является подмножеством натуральных чисел, то этот пример показывает, что бесконечное множество может быть равномощно своему подмножеству.

Пример  3

Множество положительных рациональных чисел счётно. Действительно, если представить каждое рациональное число в виде несократимой дроби и записать его в следующую таблицу, а затем пронумеровать, как указано на рисунке, то окажется, что множество рациональных положительных чисел действительно счётно.

1
Рисунок 4.1.2.1.
Пример 4

Любой отрезок [ a ;  b ] равномощен отрезку [0; 1]. Взаимно однозначное соответствие между ними устанавливает формула y  = ( b  −  a ) ·  x  +  a , где x    [0; 1],  y    [ a ;  b ].

Пример 5

Множества и счётны и потому равномощны. В самом деле, установим взаимно однозначное соответствие между ними по следующему правилу:

A ... ... ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ N 1 2 3... n ... ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ B 0 ... ...

Существуют и другие бесконечные множества, мощность которых больше, чем мощность счётных множеств. Так, множество всех точек отрезка [0; 1] не равномощно множеству натуральных чисел доказательство этой теоремы принадлежит немецкому математику Георгу Кантору.

Как было показано в примере 4, множество всех точек отрезка [0; 1] равномощно множеству точек отрезка любой длины. Легко показать равномощность множеств отрезка [ a ;  b ] и интервала ( a ;  b ), а также отрезка [ a ;  b ] и луча ( a ; +∞). Наконец, можно доказать равномощность множеств всех точек отрезка и квадрата.

Мощность множества всех действительных чисел (или, что то же, множества всех точек числовой оси) обозначается символом c (« континуум »). Поскольку множество всех действительных чисел несчётно, то א <  c .

Континуум – не самая большая из бесконечных мощностей. Так, мощность множества всех подмножеств точек числовой оси больше, чем мощность самого множества всех точек оси. Она обозначается 2 c и называется гиперконтинуумом


Предмет теории вероятностей