Алгебра Система неравенств с одной переменной Система линейных уравнений Решить систему уравнений Показательные и логарифмические неравенства Условная вероятность


Алгебра формулы, уравнения, системы

События и вероятности

Все задачи курса теории вероятностей связаны с многократным повторением испытаний и фиксацией результата испытаний – событий. Рассмотрим различные события на примере бросков игрального кубика – A . Будем обозначать тот факт, что на кубике выпало некоторое число от 1 до 6, буквой A с индексом, обозначающим выпавшее число. Так, A 3 обозначает, что при броске кубика A выпало число 3.

Если бросать одновременно два кубика A и B , то событием будет пара чисел ( a ,  b ), выпавших на кубиках A и B соответственно. Обозначим это событие A a B b . Например, A 1 B 5 означает, что мы бросили два кубика одновременно, на кубике A выпало 1, а на B выпало 5.

  • Произведением событий A и B называется событие, при котором произошло и A , и  B , обозначается оно AB .

  • Независимыми называются события A  и  B , если вероятность события A не зависит от того, наступило событие B или нет. Например, при броске двух кубиков A 1 и B 5 – независимые события. Вероятность произведения независимых событий равна произведению соответствующих вероятностей. Вообще, равенство p  ( A i A k ) =  p ( A i )  p ( A k ) является определением независимых событий.

    Доказательство

    При бросании кубика A может наступить 6 различных исходов, а при бросании кубика B – тоже 6. Из комбинаторики мы знаем, что количество вариантов, возникающих при бросании двух кубиков ( A 1 B 1, A 1 B 2 и так далее), равно произведению количества исходов для кубиков A  и  B в отдельности, то есть 6 ∙  6 = 36. Поскольку все такие исходы равновероятны, то каждый из них может наступить с вероятностью 1/36.

    В нашем случае p  ( A 1 B 5 ) =  p  ( A 1 )  p  ( B 5 ) = 1/6 · 1/6 = 1/36.

  • Если вероятность наступления события A зависит от того, наступило событие B или нет, события называют зависимыми и вводят понятие условной вероятности. Условной вероятностью события A при условии того, что произошло событие B , называют величину . Соответственно, для зависимых событий p  ( AB ) =  p  ( B )  p  ( A  |  B ).
    Предмет теории вероятностей