Алгебра Система неравенств с одной переменной Система линейных уравнений Решить систему уравнений Показательные и логарифмические неравенства Условная вероятность


Алгебра формулы, уравнения, системы

События и вероятности

Пример 

Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. (Пример взят из книги Г. Секея «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике».) Тогда события A ,  B ,  C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A  и  B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A  и  C (а также B  и  C ) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что p  ( AC ) = 1/4 =  p ( A )  p ( C ), значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье. На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Теперь, ознакомившись с языком теории вероятностей, мы можем дать более строгое определение вероятности и выписать основные её свойства.

Вероятностью события p ( A ) называется некоторая действительная функция, определённая на классе возможных событий E и удовлетворяющая следующим трём аксиомам, сформулированным А. Н. Колмогоровым.

  1. Аксиома неотрицательности . Для любого A  из  E вероятность p  ( A ) ≥ 0.
  2. Аксиома нормированности . Вероятность достоверного события p  ( I ) = 1.
  3. Аксиома аддитивности . Для любой (конечной или бесконечной) последовательности попарно несовместных событий A ,  B ,  C … вероятность их суммы p  ( A  +  B  +  C  + …) =  p  ( A ) +  p  ( B ) +  p  ( C ) + …

Из перечисленных аксиом можно вывести следующие свойства вероятностей.

  • Для любого A  из  E верно: 1 ≥  p  ( A ) ≥ 0. В частности, вероятность невозможного события p  ( O ) = 0.
  • Если событие A влечёт за собой событие B , то p ( A ) <   p ( B ).
  • Вероятность события A и вероятность противоположного события связаны соотношением
  • p  ( A  +  B ) =  p  ( A ) +  p  ( B ) –  p  ( AB ). Для несовместных событий p  ( A  +  B ) =  p  ( A ) +  p  ( B ).
  • p  ( AB ) =  p  ( B  |  A ) ·  p  ( A ).
    Предмет теории вероятностей