Алгебра Система неравенств с одной переменной Система линейных уравнений Решить систему уравнений Показательные и логарифмические неравенства Условная вероятность


Алгебра формулы, уравнения, системы

Условная вероятность

До сих пор мы рассматривали независимые события: действительно, число, выпавшее на грани кубика, никак не зависит от предыдущего броска. Но рассмотрим другой случай.

Пример 1

Пусть пять учеников вытягивают на экзамене пять билетов, один из которых очень лёгкий. Какова вероятность для того, кто идёт третьим, вытащить удачный билет?

Решение
Очевидно, она зависит от того, что попалось предыдущим ученикам. Назовём первых трёх учеников A ,  B ,  C , вероятности удачного исхода для каждого из них обозначим через p  ( A ),  p  ( B ),  p  ( C ), а неудачного – Рассмотрим поочередно все возможные случаи.

Мы видим, что вероятность вытянуть лёгкий билет одинакова для всех учеников. Посмотрим внимательнее, как мы рассчитывали вероятность для третьего ученика вытянуть удачный билет. Мы перемножали три вероятности: вероятность того, что третий вытянет нужный билет, и вероятности того, что ни первый, ни второй его не вытянут. Вероятность события A при условии того, что событие B произошло, называется условной вероятностью и обозначается p  ( A  |  B ). В нашем примере Вероятность того, что второй ученик вытянул лёгкий билет,

Напомним, что: p  ( AB ) =  p  ( B ) ·  p  ( A  |  B ).

Для условной вероятности можно записать так называемую формулу полной вероятности : p  ( B ) =  p  ( B  |  A 1 )  p  ( A 1 ) +  p  ( B  |  A 2 )  p  ( A 2 ) +  p  ( B  |  A 3 )  p  ( A 3 ) + … +  p  ( B  |  A k )  p  ( A k ).

Здесь A 1,  A 2,  A 3, …,  A k – попарно несовместные события, сумма A 1  +  A 2  +  A 3  + … +  A k – достоверное событие.

Таким образом, для вычисления полной вероятности события B нужно перечислить все условия A i , при которых может наступить B , и перемножить вероятности этих условий на соответствующие им условные вероятности p  ( B  |  A i ).

В случае, когда события независимы, p  ( AB ) =  p  ( B  |  A ) ·  p  ( A ) =  p  ( B ) ·  p  ( A ).

Пассажир ждёт трамвая № 2 или № 7 возле остановки, на которой останавливаются трамваи №  2, № 5, № 7 и № 24. Считая, что трамваи всех маршрутов появляются случайным образом (не по расписанию) одинаково часто, найдите вероятность того, что первый подошедший к остановке трамвай будет нужного пассажиру маршрута.

Вернемся к примеру с пятью билетами. Допустим, что после того, как ученик взял билет, он кладёт его обратно. Поставим два вопроса: какова вероятность того, что третьему ученику попадётся самый простой билет, и какова вероятность того, что он достанется первым трём ученикам?

Пример  Задача Пункаре

Предмет теории вероятностей