Алгебра Формулы понижения степени Линейные уравнения Разложение выражений на множители Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Иррациональные неравенства Решите неравенство


Алгебра формулы, уравнения, системы

Квадратные уравнения

 Уравнение вида ax 2  +  bx  +  c  = 0, где x − переменная, a ,  b  и  c − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше второй .

Если a  = 0, то уравнение примет вид bx  +  c  = 0 и будет уравнением степени не выше первой, которое рассмотрено выше.

Если a  ≠ 0, то уравнение рассматриваемого вида называется квадратным уравнением (или уравнением второй степени ).

Обозначим f  ( x ) =  ax 2  +  bx  +  c и зададимся целью решить уравнение f  ( x ) =  ax 2  +  bx  +  c  = 0,  a  ≠ 0.

Разложение квадратного трехчлена на множители было произведено в § 2.1.4: D  =  b 2  – 4 ac ,

Следующим существенным шагом является извлечение арифметического квадратного корня из обеих частей полученного уравнения, но поскольку дискриминант может иметь разные знаки, то возникает три случая:

Это и есть формула для решения квадратного уравнения.

Пример 1

Решите уравнение x 2  + 2 x  – 3 = 0.

Показать решение

Вычислим дискриминант этого уравнения: Следовательно, по формуле корней квадратного уравнения можно сразу получить, что Значит,

Ответ. 1, −3.

Пример 2

Решите уравнение x 2  + 6 x  + 9 = 0.

Показать решение

Вычисляя дискриминант этого уравнения, получим, что D  = 0 и, следовательно, это уравнение имеет один корень Однако можно поступить проще, заметив, что в левой части данного уравнения стоит полный квадрат: Отсюда равенство x  = –3 получается сразу.

Ответ. x  = –3.

Пример 3

Решите уравнение x 2  + 2 x  + 17 = 0.

Показать решение

Вычислим дискриминант этого уравнения: D  = 2 2  – 4 · 17 = –64 < 0. Следовательно, данное уравнение действительных корней не имеет.

Ответ. Решений нет.


Решение логарифмических неравенств