Алгебра Формулы понижения степени Линейные уравнения Разложение выражений на множители Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Иррациональные неравенства Решите неравенство


Алгебра формулы, уравнения, системы

Алгебраические уравнения

Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение (*) имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение.

Эту теорему также называют основной теоремой алгебры . Согласно этой теореме, уравнение (*) имеет хотя бы один корень z = z 0. Разделив многочлен, стоящий в левой части (*) на одночлен ( z = z 0 ), мы получим снова уравнение вида (*), которое согласно той же теореме Гаусса имеет хотя бы одно решение. Продолжая так n раз, получим следствие теоремы Гаусса: любое алгебраическое уравнение n -ной степени имеет ровно n , вообще говоря, комплексных, корней (разумеется, некоторые корни могут совпадать).

Пример 1

Решите уравнение z 3 + z – 2 = 0.

Показать решение

Очевидно, z = 1 – корень этого уравнения. Разделив многочлен z 3 + z – 2 на одночлен ( z – 1), например, по схеме Горнера, получим разложение исходного многочлена на множители: Корни квадратичной функции находим по формуле корней квадратного уравнения:

Ответ. 1,

Рациональные уравнения являются следующим по сложности типом стандартных уравнений.

 

Функция f ( x ) называется рациональной ( дробно-рациональной ), если она представима в виде отношения двух многочленов:  (степени n и m многочленов могут быть произвольными).

 

Уравнение f ( x ) = g ( x ) называется дробно-рациональным , если f ( x ) и g ( x ) являются дробно-рациональными функциями.

Для решения дробно-рациональных уравнений существует алгоритм.

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Заменить данное уравнение уравнением с целыми коэффициентами, умножив его на общий знаменатель.

3. Попытаться решить полученное уравнение с целыми коэффициентами.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

5. Записать ответ.


Решение логарифмических неравенств