Алгебра Формулы понижения степени Линейные уравнения Разложение выражений на множители Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Иррациональные неравенства Решите неравенство


Алгебра формулы, уравнения, системы

Пример 

Решите уравнение

Показать решение

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, есть ( x – 1)( x + 2). Умножая на него обе части уравнения, получим 3 x ( x + 2) – 2 x ( x – 1) = 3 x + 2. Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению x 2 + 5 x + 6 = 0, корни которого x = –3 и x = –2. Подставляя эти числа в общий знаменатель дробей исходного уравнения, убеждаемся, что при x = –2 он обращается в нуль, при x = –3 знаменатель нулю не равен. Значит, x = –2 не является корнем уравнения.

Ответ. x = –3.

 

Уравнения, в которых переменная входит под знаком радикала, называются иррациональными уравнениями .

Стандартным методом их решения является возведение уравнения в подходящую степень. Однако, как следует из § 3.1.1, возведение уравнения в произвольную степень не всегда приводит к равносильному уравнению.

Действительно, уравнение (6)

является лишь следствием уравнения f ( x ) = g ( x ), то есть содержит все корни этого уравнения, но может иметь и другие корни. Уравнение (6) среди своих корней содержит ещё и корни уравнения f ( x ) = – g ( x ) (если таковые существуют), следствием которого оно также является. Итак, у уравнения (6) «больше» корней, чем у уравнения f ( x ) = g ( x ), а это как раз и обозначает, что при возведении в чётную степень могут появиться посторонние корни. В этом случае проверка необходима, как составляющий элемент решения. Она необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. В последнем случае иногда проще сделать проверку, чем доказать, что она не нужна. Именно поэтому проверка здесь является элементом решения.

К тому же, проверка может быть средством контроля правильности проделанных вычислений. Однако проверить полученные корни подстановкой не всегда легко. Лишние корни, которые могли появиться при возведении уравнения, например, в квадрат, могут быть отсеяны на основе следующего соображения.

Рассмотрим уравнение (7)

Ясно, что если x = x 0 − решение этого уравнения, то обе части этого равенства при x = x 0 должны быть неотрицательны. Следовательно, потребовав дополнительно, чтобы g ( x ) ≥ 0, уравнение можно возвести в квадрат. Имеем следующее соотношение равносильности: (8)

Система (8) действительно является равносильной уравнению (7). В самом деле, из системы (8) следует, что функция f ( x ) равна полному квадрату функции g ( x ), то есть для решения является неотрицательной.

Пример 3

Решите уравнение

Показать решение

Перейдём сразу к равносильной системе.

Ответ.
Решение логарифмических неравенств