Алгебра Формулы понижения степени Линейные уравнения Разложение выражений на множители Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Иррациональные неравенства Решите неравенство


Алгебра формулы, уравнения, системы

Равносильность уравнений

 

Уравнением с одной переменной x называется выражение f  ( x ) =  g  ( x ), (1)

содержащее переменную величину x и знак равенства.

Число a называется корнем (или решением ) уравнения (1), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство.

Замечание. Важно понимать, что решение – это ЧИСЛО, например, 15 или поэтому ответ при решении уравнения должен содержать именно числа, а не выражения, уравнения и т. п.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) и f 1  ( x ) =  g 1  ( x ) называются равносильными , если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений. Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.

Тот факт, что уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) и f 1  ( x ) =  g 1  ( x ) равносильны, записывается так: здесь – знак равносильности.

Ясно, что уравнение f 1  ( x ) =  g 1  ( x ) может оказаться проще уравнения f  ( x ) =  g  ( x ), а так как оно имеет те же корни, что и исходное уравнение (1), то его и нужно решать.

Возникает вопрос: как от уравнения (1) перейти к более простому (но равносильному ему!) уравнению f 1  ( x ) =  g 1  ( x )? Сформулируем несколько правил преобразования уравнений.

Правило 1. Если выражение φ ( x ) определено при всех x , при которых определены выражения f  ( x ) и  g  ( x ), то уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) и f  ( x ) + φ ( x ) =  g  ( x ) + φ ( x ) равносильны. В частности, Здесь φ ( x ) = – g  ( x ). То есть любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, не нарушая равносильности.


Решение логарифмических неравенств