Алгебра Формулы понижения степени Линейные уравнения Разложение выражений на множители Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Иррациональные неравенства Решите неравенство


Алгебра формулы, уравнения, системы

Равносильность уравнений

Пример

Равносильны ли уравнения x  = 1 и

Показать решение

Уравнение x  = 1 ( f  ( x ) =  x ,  g  ( x ) = 1) имеет очевидный корень 1. При этом f  ( x ) и g  ( x ) определены на всей действительной оси. Рассмотрим функцию и заметим, что прибавление φ ( x ) к обеим частям уравнения нарушает равносильность. Действительно, как уже отмечалось, уравнение x  = 1 имеет корень, а уравнение корней не имеет. Это произошло потому, что выражение φ ( x ) определено не при всех x , при которых определены функции f  ( x ) и  g  ( x ). Именно, оно не определено при x  = 1, при котором f  ( x ) и  g  ( x ) имеют смысл.

Ответ. Нет.

Правило 2. Если выражение φ ( x ) определено при всех x , при которых определены выражения f  ( x ) и  g  ( x ), то любое решение уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) является решением уравнения

f  ( x ) · φ ( x ) =  g  ( x ) · φ ( x ). (2)

В этом случае говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) и записывают это так:

Естественно, уравнение (2) имеет больше корней, чем уравнение (1), например, его корнями будут ещё и корни уравнения φ ( x ) = 0.

Таким образом, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение может привести к появлению посторонних корней.

Если же φ ( x ) таково, что φ ( x ) ≠ 0 для тех x , для которых определены функции f  ( x ) и g  ( x ), то Это значит, что для сохранения равносильности умножать обе части уравнения можно лишь на отличное от нуля выражение.


Решение логарифмических неравенств