Алгебра Формулы понижения степени Линейные уравнения Разложение выражений на множители Тригонометрические неравенства Рациональные неравенства Иррациональные неравенства Решите неравенство


Алгебра формулы, уравнения, системы

Равносильность уравнений

Пример Равносильны ли уравнения x  = 1 и x ( x  – 2) =  x  – 2?
Показать решение

Уравнение x  = 1 ( f  ( x ) =  x ,  g  ( x ) = 1) имеет очевидный корень 1. При этом f  ( x )  и  g  ( x ) определены на всей действительной оси. Рассмотрим функцию φ ( x ) =  x  – 2 и заметим, что умножение обеих частей уравнения на φ ( x ) нарушает равносильность. Действительно, как уже отмечалось, уравнение x  = 1 имеет единственный корень, а уравнение x ( x  – 2) =  x  – 2 имеет уже два корня: x  = 1  и  x  = 2. Отметим, что все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, но не наоборот. Это и обозначается как

Ответ. Нет.

Правило 3. Каждое решение уравнения (1) является решением уравнения ( f  ( x )) n  = ( g  ( x )) n при любом натуральном n , то есть (3) При этом, если n нечётно ( n  = 2 k  + 1), то можно поставить знак равносильности:

Для чётных n справедливо только (3).

Пример 3

Уравнение x  = 1 имеет корень 1. Возведём обе части уравнения в квадрат, получим x 2  = 1. Это уравнение уже имеет два корня: x  = 1 и x  = –1. А последнее как раз и означает, что уравнение x 2  = 1 является следствием уравнения x  = 1. Разобранный пример показывает, что возведение уравнения в чётную степень может привести к появлению новых корней. Конечно, может и не привести, но раз есть опасность появления чего-то лишнего, то на этапе возведения в квадрат нужно осознавать эту неприятность (зачем нам лишние корни?) и потом обязательно производить проверку.

Правило 4. Каждое решение уравнения f  ( x ) ·  g  ( x ) = 0 является решением, по крайней мере, одного из уравнений: f  ( x ) = 0 или  g  ( x ) = 0. (4)

Другими словами, из уравнения f  ( x ) ·  g  ( x ) = 0 следует, что либо f  ( x ) = 0, либо g  ( x ) = 0:

Обратное, вообще говоря, неверно, что показывает следующий пример.


Решение логарифмических неравенств