[an error occurred while processing this directive]

Параметры элементов схем реактивных двухполюсников

Пример 4.8. Для схемы электрической цепи, которая изображена на рис. 4.12, требуется найти токи во всех ветвях и напряжения на емкости и индуктивности после замыкания ключа К Построить зависимости токов и напряжений от времени при условии, что параметры элементов схемы имеют следующие значения: Е — 180 В; С — 10 мкФ; L = 0J Гн: п = 20 Ом: г = 40 Ом.

Решение

Ток в емкости до коммутации отсутствовал, поэтому /с(0_)

 Вначале выберем направления токов в ветвях цепи и обозначим их, как показано на рис. 4.12. Затем найдем начальные условия на элементах схемы до замыкания ключа К. Ток в индуктивности L до коммутации имел значение: При соединении фаз потребителя треугольником каждая из фаз подключается на линейное напряжение



Напряжение на индуктивности также отсуствовало, так как в цепи протекает постоянный ток, поэтому к/.(0_) = 0.

Напряжение на емкости было равно напряжению источника:

Состав™ уравнения цепи после замыкания ключа К, используя для этого уравнения Кирхгофа:

где ис - иг\ 1Г = ис!г.

Произведя замену тока 4 в этом уравнении

получим дифференциальное уравнение для напряжения.

 Составим дифференциальное уравнение для напряжения ис, пользуясь вторым уравнением Кирхгофа:

Разделив обе части этого уравнения на произведение ¿С, получим приведенное дифференциальное уравнение второго порядка для напряжения Ые-

Решение этого дифференциального уравнения будем искать виде

где иСсв — свободная составляющая напряжения, которая определяется решением однородного дифференциального уравнения:

иСпр — принужденная составляющая напряжения на емкости, равная значению напряжения в установившемся режиме после коммутации;

Решение однородного дифференциального уравнения найти свободную составляющую напряжения

где Аи А± — постоянные интегрирования;

Ри Рг — корни характеристического уравнения р2 + р/гС + 1 /1С = 0„

После подстановки численных значений параметров цепи, найдем значения корней характеристического уравнения:

Решение характеристического уравнения позволяет найти корни

Поскольку корни характеристического уравнения отрицательные, вещественные и разные, то можно сделать вывод, что переходный процесс носит затухающий апериодический характер.

Таким образом, полное решение дифференциального уравнения для напряжения на емкосги имеет вид:

 Теперь перейдем к определению постоянных интегрирования А ь А2. Для этого необходимо составить два уравнения, используя законы коммутации цепи. Первое уравнение можно получить из выражения для ыс{0+) = Е:

где Ц0+) = /Ж) = ЗА; /Д0+) = и^0+)/г = 180/40 - 4,5 Подставляя значения токов /¿(ОД /Г(0Д найдем ток

Для составления второго уравнения найдем ток в емкости /с непосредственно после замыкания ключа К, т. е. определим значение /*с{0+). Для этого составим уравнение Кирхгофа для токов в цепи при условии I = (К:

что позволяет сделать вывод о мгновенном изменении тока в емкост от 0 до 1,5 А. Кроме этого, действительное направление тока в емко сти противоположное выбранному на рис. 4.12.

Для вычисления тока в емкости после коммутации формулой:

Подставив в эту формулу значение ( = 0, получим второе уравнение для определения постоянных интегрирования

Таким образом, для определения постоянных интегрирования имеем два уравнения:

Совместное решение этих уравнений позволяет найти постоянные интегрирования:

Ток в емкости найдем по формуле:

После подстановки найденных значений постоянных интегрирования найдем окончательное значение напряжения на емкости:

Суммируя токи в емкости и сопротивлении, найдем ток в индуктивности:

Графики напряжений и токов в цепи приведены на рис. 4.13я-г. Из этих графиков видно, что напряжение на емкости после коммутации имеет довольно глубокий спад, после чего возвращается к начальному значению. Ток в индуктивности после коммутации монотонно возрастает от 3 до 4,5 А, а ток в емкости после коммутации даже меняет направление. Такой режим не является колебательным, однако он близок к нему. Переход к колебательному режиму может произойти при изменении параметров элементов цепи.

Рис. 4.13а. График напряжения на емкости к примеру 4.8

Рис. 4,136, в, г. График токов в емкости (б), индуктивности (в) и сопротивления (г) к примеру 4.8

Метод интеграла наложения (Дюамеля). Расчет переходных процессов классическим методом ограничен возможностью определения реакции цепи в установившемся режиме после коммутации, т. е. возможностью определения принужденных составляющих реакции. Как было показано на примерах, такие реакции сравнительно легко определяются в тех случаях, когда воздействие и реакция совпадают по форме (например, при постоянных или гармонических воздействиях). Если же форма реакции в установившемся режиме неизвестна, то применение классического метода становится крайне затруднительным.

В этих случаях для линейных цепей можно использовать принцип наложения, который устанавливает, что реакцию на сложное воздействие можно определять в виде суммы реакций на некоторые элементарные воздействия, В качестве таких элементарных воздействий могут быть использованы ступенчатые или импульсные функции, смещенные во времени.


Математика

Живопись
Лекции
Радиобиология
Базы данных