Классический метод решения задач на переходные процессы в разветвленных
цепях с постоянными параметрами, в которых осуществляется коммутация
(включение, выключение, переключение, изменение параметров цепи и
т.п.), сводится к следующему
1. Для послекоммутационного режима составляется система интегро-дифференциальных
уравнений по законам Кирхгофа.
2. Искомый ток (или напряжение) представляют в виде суммы:
(7.1)
Принужденные составляющие могут быть найдены обычными методами расчета
установившегося процесса в цепи после коммутации.
3. Общая формула свободного тока
, (7.2)
где n – порядок характеристического уравнения;
– значение корней характеристического уравнения;
– постоянная интегрирования.
4. Характеристическое уравнение.
Наиболее простой способ составления характеристического уравнения
цепи состоит в следующем:
а) записывают формулу входного сопротивления цепи в комплексной
форме
;
б) в формуле
производят замену сомножителя
на р;
в) полученное выражение Z(p) приравнивают к нулю:
. (7.3)
5. Начальные условия.
Для определения постоянных интегрирования используются начальные
условия.
В электрических цепях выполняются следующие законы коммутации: токи
в индуктивных катушках и напряжения на конденсаторах в момент коммутации
не изменяются скачками, т.е. они являются непрерывными функциями времени:
(7.4)
Эти начальные условия являются независимыми начальными условиями.
Все остальные зависимые начальные условия определяются по законам
Кирхгофа с применением законов коммутации.
6. Операторный метод расчета переходных процессов.
В основу операторного метода положено следующее: переходные процессы
в электрических цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями
с постоянными коэффициентами, при использовании операторного метода
действительные функции времени, называемые оригиналами, заменяют их
операторными изображениями.
Связь между оригиналом
и его изображением устанавливается с помощью интеграла
Лапласа:
. (7.5)
Операторные изображения напряжения на индуктивности и емкости при
ненулевых начальных условиях определяют по формулам
(7.6)
Законы Кирхгофа в операторной форме.
Первый закон Кирхгофа:
. (7.7)
Второй закон Кирхгофа.
В общем случае при ненулевых начальных условиях для какого-либо
контура, содержащего
ветвей:
, (7.8)
где
и
– начальные значения тока, проходящего через
катушку индуктивности, и напряжения на конденсаторе в ветви k;
– операторное сопротивление ветви k.
Если изображение искомого тока или напряжения имеет вид рациональной
дроби
, причем многочлены (относительно р)
и
удовлетворяют следующим условиям: степень
ниже степени
, а корни
уравнения
различны, то оригинал определяется
по теореме разложения
. (7.9)
7. Расчет переходных процессов в электрической цепи при помощи интеграла
Дюамеля.
Большой класс радиотехнических и вообще электротехнических задач
связан с исследованием процессов, протекающих под воздействием кратковременных
внешних возмущений, длительность которых соизмерима с длительностью
переходных процессов. В этом случае рекомендуется воспользоваться
интегралом Дюамеля:
, (7.10)
где
– значение воздействующего возмущения на входе цепи при
t=0;
– переходная проводимость;
– производная от заданного напряжения, в которой t заменено
на
;
– в переходной проводимости
t заменено на
.
Если необходимо рассчитать напряжение переходного процесса на некотором
участке, то надо определить переходную функцию по напряжению
и воспользоваться формулой (7.10).
Примеры решения задач
Задача 7.1

В схеме (рис. 7.1) найти ток и напряжение на катушке в момент коммутации.
Решение
По первому закону коммутации
.
По второму закону Кирхгофа для момента 
,
,
.
Задача 7.2
Схема (рис. 7.2а) используется для получения высоковольтных импульсов.
Найти напряжение на зажимах разрядника, если
В,
Ом,
Ом,
Ом,
Гн.
Решение
Найдем ток
:
, (7.11)
,
.
Поскольку свободный ток протекает по контуру, образованному параллельными
ветвями, характеристическое уравнение имеет вид

а его корень
.
Уравнение (7.11) для момента коммутации
.
По первому закону коммутации, учитывая, что
, получаем
А.
Постоянная интегрирования
, ток
А.
Искомое напряжение
кВ.
График зависимости
приведен на рис. 7.2б.
Задача 7.3
В схеме (рис. 7.3)
Ом,
Гн,
мкФ,
В,
В. Определить токи
,
,
и напряжение
после коммутации.
Решение
,
В,
.
Определение корней характеристического уравнения:
,
,
.
,
,
,
.
Определение начальных условий:
В,
,


откуда
А.
Определение постоянных интегрирования:
,
,
,

откуда
,
.
В итоге:
В.
Найдем токи:
А,
А,
А.
Задача 7.4
В схеме (рис. 7.4а) найти токи
,
,
операторным методом.
Решение
Операторная схема замещения приведена на рис. 7.4б. Начальные
условия:
,
.
Изображение тока во второй ветви
.
Переходим к оригиналу:
,
где
,
;
;
;
;
;
;
.
Аналогично для тока в третьей ветви:
,
,
,
,
,
.
Ток в первой ветви
.
Задача 7.5
В схеме (рис. 7.5а)
В,
Ом,
Гн.
Определить
, используя операторный метод.
Решение
Ток
.
Расчет принужденной составляющей тока:
,
А.
Расчет свободной составляющей тока проводим по операторной схеме
замещения (рис. 7.5б):
,
,
А,
А.
Изображение искомого тока:
.
Переходим к оригиналу:
,
,
,
,
.
В итоге:
А.
Задача 7.6
В схеме (рис. 7.6) определить ток после
коммутации.
Решение
После коммутации в цепи протекает ток
. Находим ток классическим методом:
,
,
.
Постоянную интегрирования определяем, используя обобщенный закон
коммутации:
,
,
,
,
.
В итоге:
А.
Задача 7.7
В цепи (рис. 7.7) ток
мгновенно прерывается выключателем. Определить
, если
В,
Ом,
Ом,
Гн.
Решить задачу при следующих соотношениях между
и
:
а)
; б)
; в)
.
Потоками рассеяния пренебречь (
).
Решение
Индуктивность первой обмотки
.
Поскольку обе обмотки пронизываются одним и тем же магнитным потоком,
аналогично получаем индуктивность второй обмотки:
.
Таким образом,
или
.
Переходный ток во второй обмотке
,
,
.
Характеристическое уравнение

.
Для момента времени 
.
Используем первый обобщенный закон коммутации:
,
где М – коэффициент взаимной индукции.
Поскольку потоки рассеяния отсутствуют, коэффициент связи между
обмотками
.
Отсюда
.
Постоянная интегрирования
.
Окончательно получаем
А.
Подставив численные значения, имеем
А при 
А при 
А при 
Задача 7.8
На входе схемы (рис. 7.8а) действует напряжение
(рис. 7.8б). Определить напряжение
.
Решение
Переходная функция по току
.
Решение для интервала
:
,
.
Решение для интервала
:

,

В.
Решение для интервала
:


А,
В.
Задача 7.9
В схеме (рис. 7.9а)

кОм,

мкФ. Определить

при воздействии на входе напряжения

(рис. 7.9б),

В.
Решение
Найдем переходную функцию цепи по напряжению, используя схему (рис. 7.9в):
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Решение для интервала
:
;
,
,
,
.
Решение для интервала
:
;
,
,
,
.
Решение для интервала
:

,
,
,
,

.
Решение для интервала
:

,
,
,
,

.
Подставив данные, имеем:
В при
с,
В при
с,
В при
с,

В при
с.
График изменения
приведен на рис. 7.10.