ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Классический метод решения задач на переходные процессы в разветвленных цепях с постоянными параметрами, в которых осуществляется коммутация (включение, выключение, переключение, изменение параметров цепи и т.п.), сводится к следующему

1. Для послекоммутационного режима составляется система интегро-дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа.

2. Искомый ток (или напряжение) представляют в виде суммы:

(7.1)

Принужденные составляющие могут быть найдены обычными методами расчета установившегося процесса в цепи после коммутации.

3. Общая формула свободного тока

, (7.2)

где n – порядок характеристического уравнения;

– значение корней характеристического уравнения;

– постоянная интегрирования.

4. Характеристическое уравнение.

Наиболее простой способ составления характеристического уравнения цепи состоит в следующем:

а) записывают формулу входного сопротивления цепи в комплексной форме ;

б) в формуле производят замену сомножителя на р;

в) полученное выражение Z(p) приравнивают к нулю:

. (7.3)

5. Начальные условия.

Для определения постоянных интегрирования используются начальные условия.

В электрических цепях выполняются следующие законы коммутации: токи в индуктивных катушках и напряжения на конденсаторах в момент коммутации не изменяются скачками, т.е. они являются непрерывными функциями времени:

(7.4)

Эти начальные условия являются независимыми начальными условиями. Все остальные зависимые начальные условия определяются по законам Кирхгофа с применением законов коммутации.

6. Операторный метод расчета переходных процессов.

В основу операторного метода положено следующее: переходные процессы в электрических цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, при использовании операторного метода действительные функции времени, называемые оригиналами, заменяют их операторными изображениями.

Связь между оригиналом и его изображением устанавливается с помощью интеграла Лапласа:

. (7.5)

Операторные изображения напряжения на индуктивности и емкости при ненулевых начальных условиях определяют по формулам

(7.6)

Законы Кирхгофа в операторной форме.

Первый закон Кирхгофа:

. (7.7)

Второй закон Кирхгофа.

В общем случае при ненулевых начальных условиях для какого-либо контура, содержащего ветвей:

, (7.8)

где и – начальные значения тока, проходящего через катушку индуктивности, и напряжения на конденсаторе в ветви k;

– операторное сопротивление ветви k.

Если изображение искомого тока или напряжения имеет вид рациональной дроби , причем многочлены (относительно р) и удовлетворяют следующим условиям: степень ниже степени , а корни уравнения различны, то оригинал определяется по теореме разложения

. (7.9)

7. Расчет переходных процессов в электрической цепи при помощи интеграла Дюамеля.

Большой класс радиотехнических и вообще электротехнических задач связан с исследованием процессов, протекающих под воздействием кратковременных внешних возмущений, длительность которых соизмерима с длительностью переходных процессов. В этом случае рекомендуется воспользоваться интегралом Дюамеля:

, (7.10)

где – значение воздействующего возмущения на входе цепи при t=0;

– переходная проводимость;

– производная от заданного напряжения, в которой t заменено на ;

– в переходной проводимости t заменено на .

Если необходимо рассчитать напряжение переходного процесса на некотором участке, то надо определить переходную функцию по напряжению и воспользоваться формулой (7.10).

Примеры решения задач

Задача 7.1

В схеме (рис. 7.1) найти ток и напряжение на катушке в момент коммутации.

Решение

По первому закону коммутации

По второму закону Кирхгофа для момента

Задача 7.2

Схема (рис. 7.2а) используется для получения высоковольтных импульсов. Найти напряжение на зажимах разрядника, если В, Ом, Ом, Ом, Гн.

Решение

Найдем ток :

, (7.11)

, .

Поскольку свободный ток протекает по контуру, образованному параллельными ветвями, характеристическое уравнение имеет вид

а его корень

Уравнение (7.11) для момента коммутации .

По первому закону коммутации, учитывая, что , получаем

А.

Постоянная интегрирования , ток А.

Искомое напряжение

кВ.

График зависимости приведен на рис. 7.2б.

Задача 7.3

В схеме (рис. 7.3) Ом, Гн, мкФ, В, В. Определить токи , , и напряжение после коммутации.

Решение

В,

Определение корней характеристического уравнения:

, .

Определение начальных условий:

В,

откуда

А.

Определение постоянных интегрирования:

откуда , .

В итоге:

В.

Найдем токи:

А,

А.

Задача 7.4

В схеме (рис. 7.4а) найти токи , , операторным методом.

Решение

Операторная схема замещения приведена на рис. 7.4б. Начальные условия:

Изображение тока во второй ветви

Переходим к оригиналу:

где , ;

; ;

; ; ;

Аналогично для тока в третьей ветви:

, ,

Ток в первой ветви

Задача 7.5

В схеме (рис. 7.5а) В, Ом, Гн.

Определить , используя операторный метод.

Решение

Ток

Расчет принужденной составляющей тока:

А.

Расчет свободной составляющей тока проводим по операторной схеме замещения (рис. 7.5б):

А,

А.

Изображение искомого тока:

Переходим к оригиналу:

, , ,

В итоге:

А.

Задача 7.6

В схеме (рис. 7.6) определить ток после коммутации.

Решение

После коммутации в цепи протекает ток . Находим ток классическим методом:

, .

Постоянную интегрирования определяем, используя обобщенный закон коммутации:

В итоге:

А.

Задача 7.7

В цепи (рис. 7.7) ток мгновенно прерывается выключателем. Определить , если В, Ом, Ом, Гн.

Решить задачу при следующих соотношениях между и :

а) ; б) ; в) .

Потоками рассеяния пренебречь ().

Решение

Индуктивность первой обмотки

Поскольку обе обмотки пронизываются одним и тем же магнитным потоком, аналогично получаем индуктивность второй обмотки:

Таким образом,

или .

Переходный ток во второй обмотке

, .

Характеристическое уравнение

Для момента времени

Используем первый обобщенный закон коммутации:

где М – коэффициент взаимной индукции.

Поскольку потоки рассеяния отсутствуют, коэффициент связи между обмотками

Отсюда

Постоянная интегрирования

Окончательно получаем

А.

Подставив численные значения, имеем

А при

Задача 7.8

На входе схемы (рис. 7.8а) действует напряжение (рис. 7.8б). Определить напряжение .

Решение

Переходная функция по току

Решение для интервала :

В.

Решение для интервала :

А,

В.

Задача 7.9

В схеме (рис. 7.9а) кОм, мкФ. Определить при воздействии на входе напряжения (рис. 7.9б), В.

Решение

Найдем переходную функцию цепи по напряжению, используя схему (рис. 7.9в):

, ,

, , ,

, .

Решение для интервала :

;

, ,

Решение для интервала :

;

, , ,

Решение для интервала :

, , ,

Решение для интервала :

, , ,

Подставив данные, имеем:

В при с,

В при с.

График изменения приведен на рис. 7.10.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ Сборник задач с решениями