ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ Сборник задач с решениями

Электротехника
Сборник задач с решениями по ТОЕ
Цепи постоянного тока
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
 

Понятие о расчете активной и полной мощности линейных электрических цепей при несинусоидальных напряжениях и токах.

Для электрических цепей при несинусоидальных напряжениях и токах мгновенная мощность определяется как: p(t)=u(t).i(t). Активная мощность, как и для синусоидального тока, есть среднее значение мгновенной мощности за период:

После подстановки значений u(t) и i(t), имеющих одинаковый гармонический состав, получим:

P=U0I0+U1I1cosφ1+...+UkIkcosφk

φk = ψku – ψki

Следовательно, активная мощность при несинусоидальных .напряжениях и токах равна сумме активной мощности постоянных составляющих и активных мощностей всех гармонических составляющих тока и напряжения. Полная мощность:

S=UI

где U и I — действующие значения несинусоидальных напряжения и тока.

Пример 4.2. Определить активную и полную мощности линейной электрической цепи при несинусоидальных напряжении u(t) и токе i(t) :

u (t) = 30+25,9sin( ωt-11˚40΄ )+6sin( 3ωt+53˚50΄ )

i (t) = 10+3sin( ωt-40˚ )+0,9√2sin( 3ωt+125˚ );

Решение: Активная мощность

P = U0I0 + U1I1coṣφ1 + U3I3cosφ3 = 30*10 + 25,9/√2*3/√2*cos(-11˚40 ́-(-40˚)) ++ 6/√2*0,9√2/√2*cos(53˚50 ́ – 125˚) ≈ 336 Вт

Полная мощность:

S = UI

Действующие значения напряжения и тока

;

Следовательно, S = 35,3 • 10,3 = 363,6 В • А.

4.5 Анализ линейных электрических цепей при несинусоидальном напряжении источника питания.

Известно, что к линейным электрическим цепям применим метод наложения. В соответствии с этим запись периодического несинусоидального напряжения источника энергии рядом Фурье дает возможность представить его несколькими последовательно соединенными и одновременно действующими источниками ЭДС или напряжений и осуществлять анализ электрического состояний цепей на основе метода наложения.

Например: рассмотрим электрическую цепь (рис. 4.6 а), в которой к источнику с несинусоидальной ЭДС подключены последовательно резистивный, индуктивный и емкостной элементы.

e (t) = E0 + E1m sinωt + E2msin2ωt

С учетом вышесказанного , в рассматриваемой электрической цепи ЭДС e(t) может быть представлена тремя ЭДС (рис. 4.6.б}.

Графики Eo(t), а также e1(t) и e2(t) изображены на рис. 4.7. В соответствии с методом наложения данная электрическая цепь рассчитывается как цепь, в которой действуют три независимые ЭДС. При этом определение тока и напряжений от ЭДС Ео осуществляется, как при расчете цепей постоянного тока, а от ЭДС e1 и е2 — как при расчете цепей синусоидального тока.

При расчете цепи от ЭДС е2 и ЭДС более высших гармоник необходимо производить пересчет значений Xl и Xc, так как они зависят от частоты (рис. 4.8)

XLk= kωL; XCk= 1/kωC

  Рис № 4.6

В анализируемой электрической цепи постоянная составляющая ЭДС не вызывает установившегося тока, так как сопротивление емкостного элемента при постоянном токе равно бесконечности (рис. 4.8).

Определяем ток и напряжение в электрической цепи с ЭДС е1, и е2.

Для .первой гармоники

i1 = I1msin( ωt+φ1) ,

где  ;

В общем случае , тогда ,

а для первой гармоники ;

 Для второй гармоники ;

 Где ;

;

;

Напряжение Ur, резистивного элемента совпадает по фазе с током цепи и в общем случае:

, а так как , то  т.е. ,

где

Аналогично могут быть определены значения uL и  uC :

;

.

Пример 4.3. Несинусоидальная ЭДС - е(t) линейной электрической цепи рис. 4.6.а., изменяется по закону е(t)= 200 + 180( ωt - 30˚ ) + 120sin3ωt. Параметры цепи: r = 6 Ом, XL=ωL= 2 Ом, XС= 1/ωC=18 Ом. Определить мгновенное, действующее значение тока в цепи и действующее значение напряжения на участке цепи ab.

Решение. По отношению к постоянной составляющей ЭДС Е0 = 200В сопротивление конденсатора равно бесконечности, т.е. XC= 1/ωC = 1/ 0∙C= ∞. Следовательно, постоянная составляющая тока Ia= 0,

Определение гармонических составляющих токов i1 и i2, а также напряжений Ur, UL и UC можно также осуществить с использованием комплексных чисел.

Расчет первой гармоники:

полное сопротивление цепи

угол сдвига фаз между ЭДС e1 и током

20΄

так как , то

20΄

амплитуда и действующее значение первой гармоники тока

мгновенное значение тока

i1=10,5sin( ωt + 39˚20 ́ );

действующее значение напряжения на участке ab

Расчет третьей гармоники:

полное сопротивление цепи

т. е. для данной гармоники наблюдается резонанс напряжений, а следовательно, угол сдвига фаз между ЭДС е1 и током:

амплитуда и действующее значение тока

мгновенное значение тока

i3 = 20sin3ωt

действующее значение напряжения на участке ab

Расчет общего тока:

мгновенное значение тока в цепи

i(t) = 10,5sin(ωt + 39˚ 20΄ ) + 20sin3ωt

действующие значения тока в цепи и напряжения на участке аb

В ряде случаев при проведении практических расчетов периодические несинусоидальные ЭДС и напряжения представляют эквивалентными синусоидами. Подобная замена осуществляется так, чтобы действующее значение эквивалентной синусоиды ЭДС или напряжения равнялось действующему значению несинусоидальной величины .

4.6. Влияние резистивного, индуктивного и емкостного элементов цепи на форму кривой тока. Резонансные явления.

При резистивной нагрузке токи всех гармоник совпадают по фазе с соответствующими гармониками напряжений и форма кривой несинусоидального тока аналогична форме кривой напряжения u(t).

В цепи с индуктивным элементом амплитуда тока основной гармоники определяется как I1m=U1m/ωL, а амплитуды токов всех последующих гармонических составляющих Ikm=Ukm/ωL

Так как сопротивление индуктивного элемента увеличивается с переходом к высшим гармоникам, то амплитуда каждой гармоники тока будет уменьшаться обратно пропорционально порядку гармоники, и высшие гармоники тока будут проявляться в меньшей степени в общей кривой тока. Таким образом, кривая тока меньше отличается от синусоиды, чем кривая напряжения. Аналогично в цепи с емкостным элементом амплитуды токов основной и высших гармоник определяются как:

Так как сопротивление емкостного элемента уменьшается с переходом к высшим гармоникам, то амплитуды гармоник тока будут увеличиваться пропорционально порядку гармоники, форма кривой тока будет искажаться еще больше в сравнении с кривой напряжения.

Поскольку с ростом частоты сопротивление индуктивного элемента увеличивается, а емкостного уменьшается, в электрической цепи рис.4.6,а может возникнуть резонанс напряжений либо для первой, либо для одной из высших гармоник. Условие возникновения резонанса напряжений для некоторой k-гармоники

kωL = 1/kωC

При этом амплитуда тока резонансной гармоники может значительно превысить амплитуды тока всех остальных гармоник (см. пример 4.3), а на участках электрической цепи как с индуктивным, так и с емкостным элементом могут возникнуть перенапряжения.

В электрических цепях несинусоидального тока при параллельном соединении катушки и конденсатора возможно возникновение резонанса тока либо для первой, либо для одной из высших гармоник с присущими данному резонансу явлениями.

Расчет методом узловых потенциалов