ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ Сборник задач с решениями

Электротехника
Сборник задач с решениями по ТОЕ
Цепи постоянного тока
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
 

ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Синусоидальные токи, напряжения и ЭДС.

В линейной электрической цепи при действии периодических ЭДС с одинаковым периодом Т, спустя достаточно большой промежуток времени от начала действия этих ЭДС, устанавливаются во всех участках цепи периодические токи и напряжения с тем же периодом Т. Величина  является частотой ЭДС, тока или напряжения. Частота численно равна числу периодов в единицу времени и измеряется в герцах (Гц).

Наибольший интерес представляют периодические синусоидальные токи, напряжения и ЭДС:

 (2.1)

Величины e, u, i называют мгновенными значениями. Их наибольшие значения Em, Um, Im называют амплитудными значениями. Величину  называют угловой частотой. Аргумент синуса называют фазой, величины ψe, ψu, ψi – начальной фазой.

2. Действующие и средние значения синусоидальных величин:

 (2.2)

3. Изображение синусоидальной функции комплексным числом.

В курсе теории линейных электрических цепей используются следующие формы записи комплексного числа:

алгебраическая ;

показательная ; (2.3)

тригонометрическая ,

здесь  – модуль комплексного числа;

 – аргумент комплексного числа;

 – действительная часть комплексного числа;

 – мнимая часть комплексного числа.

Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании комплексных чисел, а показательная – при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня.

4. Комплексные выражения синусоидальной функции времени, ее производной и интеграла приведены в табл. 2.1.

Соответствующие комплексные амплитуды запишем так:

 (2.4)

Таблица 2.1

Временная и комплексная записи

Функция

Производная функции

Интеграл от функции

Запись во временной области

Комплексная функция

времени

Комплексная амплитуда

Комплексное действующее значение

Согласно ГОСТу любое комплексное значение обозначается соответствующей буквой с чертой под ней, например , . Однако для величин, изменяющихся с течением времени синусоидально, разрешается комплексные величины обозначать с точкой над соответствующей буквой, таковы , напряжение , ток . Так что такие записи эквивалентны: , , .

5. Пассивные элементы электрической цепи (табл. 2.2).

Пассивный элемент электрической цепи определяется своим комплексным сопротивлением  – комплексным числом, равным отношению комплексного напряжения на зажимах данного элемента к комплексному току этого элемента:

. (2.5)

В табл. 2.2 приведены пассивные элементы, их изображения и обозначения.

6. Законы Кирхгофа.

 (2.6)

7. Комплексная мощность.

, (2.7)

где  – полная мощность;

 – активная мощность;

 – реактивная мощность;

 – сопряженный комплекс тока.

Баланс мощностей

. (2.8)


Примеры решения задач

Задача 2.1

Временная диаграмма напряжения на зажимах резистора с сопротивлением R=2 Ом изображена на рис. 2.1. Определить значение тока в моменты t1=0,25 c, t2=0,5 c, t3=1 c. Составить уравнение мощности в промежутках времени (0–0,5) с и (0,5–1) с, построить временную диаграмму мощности. Найти количество тепла, выделяемого в резисторе в течение одной секунды [9].

Решение

Аналитическое выражение напряжения (рис. 2.1)

 при ,

 при .

Аналитическое выражение тока

 при ,

 при .

Временные диаграммы тока и напряжения подобны, так как . Ток в заданные моменты времени  А,  А, .

Уравнение мощности

,

 при ,

 при .

Временная диаграмма мощности приведена на рис. 2.2.

Количество тепла, выделяемого в течение одной секунды:

 Дж.

Задача 2.2

В цепи (рис. 2.3) действует идеальный источник тока [9]. На рис. 2.4 изображена временная диаграмма тока источника, параметры цепи R=2 Ом, L=1 Гн.


Определить напряжения uR(t), uL(t), u(t) и построить их временные диаграммы. Найти максимальное значение напряжения на зажимах источника. Составить уравнение мгновенной мощности и определить мощность для моментов времени  c и  с.

Решение

Аналитически ток источника тока может быть записан в виде

Тогда

Напряжение на зажимах источника определяется на основании второго закона Кирхгофа


На рис. 2.5, 2.6 и 2.7 изображены временные диаграммы напряжений uR, uL и u. Максимального значения напряжение источника достигает при t=0,5 с (рис. 2.7): Umax=8 В.

Уравнения мгновенной мощности:

В момент времени  с

 Вт.

В момент времени  с

 Вт.

Катушка с активным сопротивлением R=10 Ом, индуктивностью L=0,05 Гн подключена к источнику синусоидального напряжения, действующее значение которого U=120 В, а частота f=50 Гц Определить полное сопротивление катушки, ток и сдвиг фаз между напряжением и током. Чему равна активная, реактивная и полная мощности? Вычислить активную и реактивную составляющие напряжения на зажимах катушки. Чему равна ЭДС самоиндукции, наводимая в катушке? Построить векторную диаграмму напряжений и тока.

Приборы, подключенные к пассивному двухполюснику, при разомкнутом контакте S показали напряжение  В, ток  А, мощность  Вт. Для определения характера реактивного сопротивления двухполюсника параллельно ему был подключен конденсатор (контакт S замкнут), емкостное сопротивление которого  Ом. При этом приборы показали напряжение  В, ток  А, мощность  Вт. Определить эквивалентные параметры двухполюсника.

Резонансные явления Реактивные сопротивления и проводимости электрических цепей могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, следовательно, могут взаимно компенсироваться. Поэтому возможны случаи, когда, несмотря на наличие в цепи индуктивных катушек и конденсаторов, входное реактивное сопротивление или входная реактивная проводимость всей цепи оказываются равными нулю. При этом ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе, и эквивалентное сопротивление всей цепи будет активным. Такое явление называют резонансным.

Параллельный контур с малыми потерями настроен в резонанс токов. Параметры контура:  Ом,  пФ,  мкГн. Найти: резонансную частоту, эквивалентное сопротивление на резонансной частоте, добротность, а также величину общего тока при резонансе и для случая увеличения частоты питающего напряжения  В на .

Цепи со взаимной индуктивностью Явлением взаимной индукции называется наведение ЭДС в электрической цепи при изменении потокосцепления взаимной индукции, обусловленного током в другой электрической цепи. Цепи, в которых наводятся ЭДС взаимной индукции, называются индуктивно связанными цепями.

Расчет методом узловых потенциалов