Метод активных и реактивных составляющих токов Метод узловых и контурных уравнений Расчёт трёхфазной цепи при соединении приемника в звезду Примеры выполнения курсовой работы Расчет методом узловых потенциалов

Методы расчета электрических цепей. Примеры выполнения курсового задания

Комплексное изображение синусоидального тока.

 Комплексное представление синусоидальных токов и напряжений позволяет совместить простоту и наглядность векторного представления с точностью представления действительными функциями времени. Для перехода от графического к комплексному представлению заменим оси декартовой системы координат (рис.2.2) следующим образом:

-ось Х на ось действующих чисел Re;

-ось Y на ось мнимых чисел Jm (рис.2.4).

  При этом длина вектора тока (напряжения) по-прежнему определяется амплитудным значением, но обозначается как комплексная величина, т.е. Im(Um).

 Угол наклона вектора к оси реальных чисел Re в момент времени t=0 остается прежним, т.е. j.

 Обозначим проекцию вектора Im на ось реальных чисел i’ = Im×cosj,  а проекцию Im на ось мнимых чисел = Im× sin j. Тогда очевидно, что

 , (2.5)

 где j - мнимая единица, причем  -  

 Выражение (2.5) определяет комплексную алгебраическую форму представления синусоидального тока. Она удобна для выполнения действий сложения и вычитания токов (напряжений).

 Действительно, для сложения двух комплексных чисел достаточно отдельно сложить действительные и мнимые числа.

 Подставим в (2.5) вместо  и  их значения. Тогда получим

 İ, (2.6)

где  - модуль комплексного представления тока, численно равный амплитудному значению.

Выражение (2.6) определяет комплексную тригонометрическую форму представления синусоидального тока. Из рис. 2.4 очевидно, что

,  а . (2.7)

Видим, что выражения (2.5) и (2.6) характеризуют параметры синусоидального тока, не зависящие от времени - действительную амплитуду  и начальную фазу j.

 Введем зависимость от времени. Тогда

İ, (2.8)

где  

Теперь очевидно, что реальная часть (2.8) характеризует, реально существующее колебание, описываемое действительной косинусной функцией, мнимая часть - это же колебание в синусной форме.

 С помощью формулы Эйлера от (2.6) переходят к показательной форме комплексного представления тока

İ, (2.9)

а с учетом зависимости от времен

İmİm (2.10)

Комплексная показательная форма удобна для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень или извлечения корня. Действительно, для умножения двух комплексных чисел в показательной форме (2.9) достаточно перемножить их модули, а аргументы (показатели степени) сложить.

  Представим токи и напряжения на пассивных элементах, обладающих активным сопротивлением, емкостью и индуктивностью в комплексной форме. Пусть имеем

İİ

Для элемента с активным сопротивлением справедливо равенство

или

   (2.11)

Но равенство (2.11) возможно только в том случае, когда . Таким образом, мы пришли к важному выводу о том, что на элементе с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе, т.е. максимумы тока и напряжения имеют место в одим и то же момент времени, Векторы тока и напряжения будут совпадать (рис. 2.5).


 Для элемента обладающего емкостью известно выражение

Применяя к нему комплексную форму представления тока и напряжения получим

.

Учитывая, что   приходим к выражению

или

Таким образом видим, что напряжение на емкости отстает от тока на 90о (см. рис.2,6)

  Для элемента, обладающего индуктивностью воспользуемся выражением (1.11). Тогда

или

  (2.13)

Видим, что напряжение на индуктивности опережает ток на 90о (см.рис. 2.7).

 В заключение лекции отметим что выражения (2.11), (2.12) и (2.13) не имеют временных зависимостей. Это упрощает расчеты электрических цепей, сводя их к алгебраическим операциям с комплексными числами. Именно поэтому комплексное представление широко используется при анализе электрических цепей переменного тока.

Схемы замещения трансформаторов. Типы трансформаторов и их применение в радиотехнике. Резонансы в индуктивно-связанных контурах. Расчет резонансных токов в индуктивно-связанных контурах. Характеристики связи контуров. Виды резонансов в связанных контурах Частотные характеристики реактивных элементов цепи. Основы анализа четырехполюсников. Классификация четырехполюсников. Уравнения передачи четырехполюсников
Расчет методом узловых потенциалов