Метод активных и реактивных составляющих токов Метод узловых и контурных уравнений Расчёт трёхфазной цепи при соединении приемника в звезду Примеры выполнения курсовой работы Расчет методом узловых потенциалов

Методы расчета электрических цепей. Примеры выполнения курсового задания

Комплексное сопротивление и проводимости элементов электрических цепей

Комплексное сопротивление

 Введение комплексного представления токов и напряжений требует определить и сопротивление элементов электрических цепей в комплексной форме - Z.

 Хороши известно, что сопротивление резистора определяется как отношение напряжения на резисторе к току, протекающему через него. Если напряжение и ток представлены в комплексной форме, то

Но на предыдущей лекции было установлено, что . Поэтому

  (3.1)

Таким образом видим, что комплексное сопротивление резистора выражается только действительным числом. Оно не вносит фазовых искажений между токами и напряжением. Чтобы подчеркнуть этот факт такое сопротивление часто называют активным.

  Комплексное сопротивление емкости определяется отношением

.  (3.2)

Видим, что комплексное сопротивление емкости переменному току выражается мнимым числом. Мнимая единица -j физически определяет сдвиг фаз между током и напряжением на 90о. Это хорошо согласуется с ее максимальным значением

Поэтому на емкости напряжение отстает от тока на 90о. Это означает, что сначала растет ток, протекающий через конденсатор, затем, с некоторым отставанием увеличивается заряд и напряжение.

 Коэффициент 1/ определяет величину сопротивления в Омах. Он обратно пропорционален частоте, называется емкостным сопротивлением и обозначается ХС, т.е.

. (3.3)

 Комплексное сопротивление индуктивности определяется отношением

.  (3.4)

И в этом случае сопротивление выражается мнимым числом. Но так как это число положительное, то это означает, что на индуктивности напряжение опережает ток на 90о.

Коэффициент wL определяет величину сопротивления в Омах. Он пропорционален частоте, называется индуктивным сопротивлением и обозначается ХL, т.е.

.  (3.5)

Чтобы подчеркнуть тот факт, что сопротивления емкости и индуктивности выражаются мнимыми числами, их называют реактивными сопротивлениями, а конденсатор и индуктивность - реактивными элементами цепи.

 Определим теперь комплексное сопротивление электрической цепи, содержащей активные и реактивне элементы, например последовательно включенные R, L и С элементы (рис.3.1). Такая цепь представляет замкнутый контур, поэтому для нее справедлив второй закон Кирхгофа

.  (3.6)

В последнем выражении проведем замену символов мгновенных напряжений и ЭДС на их комплексные изображения по правилам, определенным в лекции 1.2. Такой прием получил название символического метода. Так как ток протекающий через все элементы последовательной цепи одинаков, то (3.6) приходит к виду

  Преобразуем это выражение к виду

.

  По определению выражение в правой части последнего равенства есть ни что иное, как комплексное сопротивление цепи рис.3.1, т.е.

  (3.7)

где R - действительная часть или активное сопротивление цепи.

- мнимая часть или реактивное сопротивление цепи.

 Выражение (3.7) представляет комплексное сопротивление в алгебраической форме. Соотношения между составляющими комплексного сопротивления находятся в полном соответствии с соотношениями для комплексного представления тока. Но для большей наглядности вводится понятие треугольника сопротивления (рис.3.2).

В треугольнике - гипотенуза определяется модулем комплексного сопротивления Z, причем

  (3.8)

Противолежащий катет - реактивным сопротивлением X, причем

  (3.9)

Угол определяет сдвиг фаз между током и напряжением, который вносится комплексным сопротивлением цепи, причем

  (3.10)

 Учитывая выражения (3.8) ¸ (3.11) легко перейти от алгебраической к тригонометрической форме комплексного сопротивления

Z  (3.12)

a применив формулу Эйлера получить показательную форму

 Z  (3.13)

 Теперь можно записать закон Ома для участка цепи без источника ЭДС в комплексном изображении

  (3.14)

Выражение (3.14) показывает, что в цепях переменного тока модуль тока определяется отношением модуля напряжения (его амплитудного значения) к модулю комплексного сопротивления, а фаза тока определяется разностью фаз напряжения и комплексного сопротивления. Отсюда вытекает еще одно полезное для практики выражение

.  (3.15)

Комплексна проводимость

 В цепях постоянного тока проводимость резистора определяется отношением тока к напряжению:

Эта величина обратно пропорциональна сопротивлению.

 В цепях переменного тока следует пользоваться понятием комплексной проводимости, которая обозначается Y и, в общем случае, содержит действительную G и мнимую В части:

Как и в цепях постоянного тока комплексная проводимость участка цепи обратна комплексному сопротивлению, т.е.

Отсюда

  ,  ,   , (3.16)

где Y - модуль комплексной проводимости.

 Соотношение между составляющими комплексной проводимости аналогичны соотношениям между составляющими комплексного сопротивления.

Комплексная проводимость резистора

  (3.17)

Комплексная проводимость конденсатора

  . (3.18)

Комплексная проводимость индуктивности

  . (3.19)

 В заключение отмети, что комплексное сопротивление удобно применять для анализа участков электрической цепи с последовательным включением элементов, а комплексную проводимость - для участков с параллельным включением элементов.

Схемы замещения трансформаторов. Типы трансформаторов и их применение в радиотехнике. Резонансы в индуктивно-связанных контурах. Расчет резонансных токов в индуктивно-связанных контурах. Характеристики связи контуров. Виды резонансов в связанных контурах Частотные характеристики реактивных элементов цепи. Основы анализа четырехполюсников. Классификация четырехполюсников. Уравнения передачи четырехполюсников
Расчет методом узловых потенциалов